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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Aufgabe 1479: Allgemeine Lösung von Differentialgleichungen.

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Geben Sie die allgemeine Lösung folgender Differentialgleichungen an:
  1. $ y' + 2xy= 3x$,
  2. $ y' -\frac yx = -\frac 2{x^2}$ für $ x>0$.

  1. $\displaystyle y' + 2xy = 3x $



    Dies ist eine lineare Differentialgleichung 1. Ordnung. Man bestimmt zunächst ihre homogene Lösung mit $ a_0:= 0$
    $\displaystyle y$ $\displaystyle =$ $\displaystyle c\cdot e^{-\int_{0}^x2\xi d\xi}$  
      $\displaystyle =$ $\displaystyle c\cdot e^{-\int_0^x2\xi d\xi} = c\cdot e^{-x^2}$  



    Zur Bestimmung der inhomogenen Lösung benutzt man die Methode der Variation der Konstanten. Man macht folgenden Ansatz:

    $\displaystyle y(x) = c(x)\cdot e^{-x^2} $

    Einsetzen in die inhomogene DGL liefert:
    $\displaystyle c'(x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 3x\cdot e^{x^2}$  
    $\displaystyle \Rightarrow c(x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \int 3t\cdot e^{t^2} dt$  
      $\displaystyle =$ $\displaystyle \int 3t\cdot e^{t^2} dt = \int \frac{3}{2}\left(\frac{d}{dt}e^{t^2}\right) dt$  
      $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{3}{2}(e^{x^2}-1)$  

    Damit erhält man als allgemeine Lösung:
    $\displaystyle y(x) = y_h(x) + y_p(x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (c+c_0+\frac{3}{2}(e^{x^2}-1))e^{-x^2}$  
      $\displaystyle =$ $\displaystyle c'e^{-x^2} + \frac{3}{2}$  

  2. $\displaystyle y' - \frac{1}{x}y = -\frac{2}{x^2} $



    Dies ist eine lineare Differentialgleichung 1. Ordnung. Man bestimmt zunächst ihre homogene Lösung mit $ a_0=1$:
    $\displaystyle y$ $\displaystyle =$ $\displaystyle c\cdot e^{-\int_{a_0}^x\frac{1}{\xi} d\xi}$  
      $\displaystyle =$ $\displaystyle c\cdot e^{-\int_1^x\frac{1}{\xi} d\xi} = c\cdot x$  



    Zur Bestimmung der inhomogenen Lösung benutzt man die Methode der Variation der Konstanten. Man macht folgenden Ansatz:

    $\displaystyle y(x) = c(x)\cdot x $

    Einsetzen in die inhomogene DGL liefert:
    $\displaystyle c'(x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\frac{2}{x^2} x = -2 \frac 1x$  
    $\displaystyle \Rightarrow c(x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -2\int\frac{1}{t} dt$  
      $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\cdot \ln x$  

    Damit erhält man als allgemeine Lösung:
    $\displaystyle y(x) = y_h(x) + y_p(x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (c+2 \ln x)x$  

(Prof. Dr. Eberhard Teufel, Dr. Norbert Röhrl)
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  automatisch erstellt am 17.  9. 2006