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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Aufgabe 1481: Anfangswerte von Differentialgleichungen.

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Für welche Anfangswerte $ (x_0,y_0)$ sind folgende Differentialgleichungen nach dem Satz über Existenz und Eindeutigkeit in einer Umgebung von $ (x_0,y_0)$ eindeutig lösbar?
  1. $ y' = \frac yx$
  2. $ y' = \frac xy$
  3. $ y' = 3\sqrt[3]{y^2}$

  1. $\displaystyle \left\vert \frac {y_1}x - \frac {y_2} x\right\vert = \frac1{\vert x\vert} \vert y_1-y_2\vert\,. $

    Für alle $ (x_0,y_0)$ mit $ x_0\neq 0$ ist also die Lipschitzbedingung in einer Umgebung erfüllt.

  2. $\displaystyle \left\vert \frac x{y_1} - \frac x{y_2}\right\vert = \left\vert \frac{x}{y_1y_2} \right\vert\vert y_1-y_2\vert\,. $

    Für alle $ (x_0,y_0)$ mit $ y_0\neq 0$ ist also die Lipschitzbedingung in einer Umgebung erfüllt.

  3. $\displaystyle 3\left\vert \sqrt[3]{y_1^2} - \sqrt[3]{y_2^2}\right\vert = 3\left... ...}^2+ \sqrt[3]{y_1^2y_2^2} + \sqrt[3]{y_2^2}^2}\right\vert\vert y_1-y_2\vert\,. $

    Für alle $ (x_0,y_0)$ mit $ y_0\neq 0$ ist also die Lipschitzbedingung in einer Umgebung erfüllt.
(Prof. Dr. Eberhard Teufel, Dr. Norbert Röhrl)
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  automatisch erstellt am 17.  9. 2006