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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Aufgabe 1482: Reduktion einer Differentialgleichung auf eine erster Ordnung.

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Lösen Sie die Differentialgleichung

$\displaystyle y''= \sqrt{1+y'^2} $

indem Sie die Gleichung mit dem Ansatz $ w=y'$ auf eine Gleichung erster Ordnung reduzieren.
Für $ w = y'$ ergibt sich die Differentialgleichung

$\displaystyle w'$ $\displaystyle \, = \, \sqrt{1 + w^{2}}$    
$\displaystyle \int \, \frac{1}{\sqrt{1 + w^{2}}} \, dw$ $\displaystyle \, = \, x + c$    
arcsinh$\displaystyle (w(x))$ $\displaystyle \, = \, x + c$    
$\displaystyle w(x)$ $\displaystyle \, = \, {\sinh}(x+c)$    

mit $ c \in \mathbb{R}$. Partikuläre Lösungen für $ w$ kann es nicht geben, da stets $ \sqrt{1 + w^{2}} \geq 1 > 0$ gilt. $ y$ erhalten wir nun aus $ w$ durch Aufintegrieren (mittels partieller Integration)

$\displaystyle y(x)$ $\displaystyle \, = \, \int \, w(x) \, dx$    
  $\displaystyle \, = \, \int \, {\sinh}(x+c) \, dx$    
  $\displaystyle \, = \, \cosh(x+c) +d$    

mit $ c,d \in \mathbb{R}$.

(Prof. Dr. Eberhard Teufel, Dr. Norbert Röhrl)
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  automatisch erstellt am 17.  9. 2006