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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Aufgabe 1486: Konvergenzradius

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Bestimmen Sie den Konvergenzradius $ R$ von

$\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n^2+3n+2} x^n $

Zeigen Sie, dass für jedes $ q<R$ die Folge der Partialsummen auf $ D_q=\{ x\big\vert \vert x\vert \leq q\} $ gleichmäßig konvergiert.

$\displaystyle \lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{n^2+3n+2} =1 $

da $ 1\leq n^2+3n+2\leq 2n^2$ für $ n>3$ und $ \sqrt[n]{n}\to1$ also $ R=1$.

Es ist

$\displaystyle f_k(x)= \sum_{n=1}^k \frac{(-1)^n}{n^2+3n+2} x^n\,, \vert f(x)-f_n(x)\vert\leq \sum_{n=k+1}^\infty \frac{1}{n^2+3n+2} q^n \,\forall \, x\in D_q $

und da

$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2+3n+2} q^n $

nach dem Wurzelkriterium konvergent ist, gibt es für jedes $ \varepsilon>0$ ein $ k$ mit

$\displaystyle \vert f(x)-f_n(x)\vert <\varepsilon $

(Prof. Dr. Eberhard Teufel, Dr. Norbert Röhrl)
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  automatisch erstellt am 13. 10. 2006