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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Aufgabe 1488: Taylorpolynom

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Berechnen Sie das Taylorpolynom 2. Ordnung um $ (0,0)$ von

$\displaystyle f(x,y)=\ln \left(\frac{1+x}{1-y}\right) $

$\displaystyle \frac{1+x}{1-y} = (1+x)(1+y+y^2+O(y^3)) = 1 +x +y +xy +y^2 + \ldots $

$\displaystyle \ln(1+x)= \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n}x^n $

also

$\displaystyle T_2(x,y)= xy +x +y + y^2 - \frac12 (x^2 +y^2 +2xy) = x +y +\frac12 (y^2-x^2) $

oder

$\displaystyle f_x= \frac{1}{1+x}, f_{xx} = -\frac{1}{(1+x)^2}, f_{xy}= -0 $

$\displaystyle f_y= \frac{1}{(1-y)}, f_{yy} = \frac{1}{(1-y)^2} $

$\displaystyle T_2(x,y)=0+ x+y +\frac12(y^2-x^2) $

(Prof. Dr. Eberhard Teufel, Dr. Norbert Röhrl)
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  automatisch erstellt am 13. 10. 2006