Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu: Aufgabe 1490: Integration durch Substitution

	[Home] [Lexikon] [Aufgaben] [Tests] [Kurse] [Begleitmaterial] [Hinweise] [Mitwirkende] [Publikationen]
	Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu
	Aufgabe 1490: Integration durch Substitution

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

Berechnen Sie mittels einer geeigneten Substitution die Stammfunktion der Funktion

$\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
Existiert das uneigentliche Integral von in den Grenzen 0 und ? Begründen Sie Ihre Angabe und berechnen Sie gegebenenfalls den Wert des Integrals.

Substituiere

$\displaystyle x=\sin z, \,\mathrm{d} x = \cos z \,\mathrm{d} z$

$\displaystyle \int \frac1{\cos z} \cos z \,\mathrm{d} z = z = \arcsin x$

Integrand divergent bei 1, also uneigentliches Integral gegeben durch

$\displaystyle \lim_{\varepsilon\to0} \int_0^{1-\varepsilon} \frac{1}{\sqrt{1-x^... ...hrm{d} x = \lim_{\varepsilon\to0} \arcsin (1-\varepsilon) - \arcsin 0 = \pi/2$

Das uneigentliche Integral existiert also.

(Prof. Dr. Eberhard Teufel, Dr. Norbert Röhrl)

[Zurück zur Aufgabe]

automatisch erstellt am 29. 10. 2006