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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Aufgabe 1491: Bestimmung von lokalen Extrema

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Gegeben sei $ f:{\mathbb{R}}^2\to{\mathbb{R}}, f(x,y)= 3x^2+3y^2-2xy$. Berechnen Sie das/die lokalen Extrema von $ f$ und bestimmen Sie deren Typ.
  1. Ohne Nebenbedingung.
  2. Mit der Nebenbedingung $ g(x,y)=x+y-1=0$.
Ohne Nebenbedingungen:
$\displaystyle 6x -2y$ $\displaystyle =$ 0 (1)
$\displaystyle 6y -2x$ $\displaystyle =$ 0 (2)

also ein Extremum $ x=y=0$. Hesse Matrix:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 6 &-2\\ -2 & 6\\ \end{pmatrix}$

positiv definit nach Kriterium aus der Vorlesung ($ a_{11}>0$ und $ \det A>0$) (Eigenwerte 8 und 4), also ein Minimum.

Mit Nebenbedingung:

$\displaystyle 6x -2y +\lambda$ $\displaystyle =$ 0 (3)
$\displaystyle 6y -2x +\lambda$ $\displaystyle =$ 0 (4)
$\displaystyle x+y -1$ $\displaystyle =$ 0 (5)

$\displaystyle 8x-8y=0 $

Also Extremum $ x=y=1/2$. Hesse-Matrix wie oben, also Minimum.
(Prof. Dr. Eberhard Teufel, Dr. Norbert Röhrl)
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  automatisch erstellt am 13. 10. 2006