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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Aufgabe 1492: Rechenregeln der Integral- und Differentialrechnung

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Seien $ f,g:{\mathbb{R}} \to {\mathbb{R}}$ drei mal stetig differenzierbare Funktionen, $ x_0\in {\mathbb{R}}$.
  1. Wie lautet die Quotientenregel (für $ g(x_0)\neq 0$)

    $\displaystyle \left(\frac fg\right)' (x_0) \,? $

  2. Wie lautet das Taylorpolynom $ T_2(x)$ 2. Ordnung an der Stelle $ x_0$ und das zugehörige Restglied $ R_2(x)$?

  3. Wie lautet die Regel der partiellen Integration?

  4. Wie lautet der Mittelwertsatz der Differentialrechnung?
Seien $ f,g:{\mathbb{R}}\to{\mathbb{R}}$ drei mal stetig differenzierbare Funktionen, $ x_0\in {\mathbb{R}}$
  1. Wie lautet die Quotientenregel (für $ g(x_0)\neq 0$)

    $\displaystyle \left(\frac fg\right)^\prime (x_0) = \frac {f'g -g'f}{g^2} (x_0) $

  2. Wie lautet das Taylorpolynom 2. Ordnung an der Stelle $ x_0$

    $\displaystyle T_2(x)=f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \frac 12 f''(x_0)(x-x_0)^2 $

    und das zugehörige Restglied

    $\displaystyle R_2(x)= \frac16 f'''(\xi)(x-x_0)^3$    mit $\displaystyle \xi=tx_0 +(1-t)x, t\in (0,1) $

  3. Wie lautet die Regel der partiellen Integration

    $\displaystyle \int_a^bf'(x)g(x)\,\mathrm{d} x = f(x)g(x)\big\vert _a^b - \int_a^bf(x)g'(x) \,\mathrm{d} x $

  4. Wie lautet der Mittelwertsatz der Differentialrechnung

    $\displaystyle f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$    mit $\displaystyle \xi=tx_0 +(1-t)x, t\in (0,1) $

(Prof. Dr. Eberhard Teufel, Dr. Norbert Röhrl)
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  automatisch erstellt am 29. 10. 2006