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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Aufgabe 1493: Totale Ableitung und lokale Extrema

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Sei $ f:{\mathbb{R}}^2\to{\mathbb{R}}$ und $ \boldsymbol{x}_0\in{\mathbb{R}}^2$
  1. Geben Sie eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Existenz der totalen Ableitung von $ f$ in $ \boldsymbol{x}_0$ an. (Nicht die Definition!)

  2. Geben Sie den Zusammenhang zwischen der Richtungsableitung im Punkte $ \boldsymbol{x}_0$ in Richtung $ \boldsymbol{a}$ und dem Gradienten von $ f$ an.

  3. Sei $ f$ zusätzlich 2 mal stetig differenzierbar.
    1. Formulieren Sie die notwendige Bedingung für ein lokales Extrema von $ f$ in $ \boldsymbol{x}_0$

    2. Formulieren Sie eine hinreichende Bedingung für ein lokales Minimum von $ f$ in $ \boldsymbol{x}_0$, die wesentlich auf die 2. Ableitungen zurückgreift.

  1. Alle partiellen Ableitungen $ \partial_i f$ existieren in einer Umgebung um $ \boldsymbol{x}_0$ und sind im Punkt $ \boldsymbol{x}_0$ stetig.
  2. $ \nabla f(\boldsymbol{x}_0)\boldsymbol{a}=\partial_{\boldsymbol{a}}f(\boldsymbol{x}_0)$.
    1. $ \nabla f(\boldsymbol{x}_0)=0$.
    2. Die Hesse-Matrix ist am Punkt $ \boldsymbol{x}_0$ positiv definit, i.e. $ \boldsymbol{y}^\top H \boldsymbol{y}>0$ für alle $ \boldsymbol{y}\neq 0$.
(Prof. Dr. Eberhard Teufel, Dr. Norbert Röhrl)
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  automatisch erstellt am 13. 10. 2006