Mo Logo [Home] [Lexikon] [Aufgaben] [Tests] [Kurse] [Begleitmaterial] [Hinweise] [Mitwirkende] [Publikationen]
Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Aufgabe 1495: Integration durch Reihenentwicklung

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Bestimmen Sie den Wert des Integrals

$\displaystyle \int_0^1 \sin(x^2) \,d x $

näherungsweise mit Hilfe der Reihenentwicklung mit absolutem Fehler kleiner $ 0.5\cdot 10^{-2}$.

$\displaystyle \sin(x^2) = \sum_{\nu=0}^\infty \frac {(-1)^\nu x^{4\nu+2}}{(2\nu+1)!} $

(Konvergenzradius $ R=\infty$.)

$\displaystyle \int_0^1 \sin(x^2) \,d x = \sum_{\nu=0}^\infty \frac {(-1)^\nu x^{4\nu+3}}{(4\nu+3)(2\nu+1)!}\big\vert _0^1 $

Also

$\displaystyle \sum_{\nu=0}^\infty \frac {(-1)^\nu}{(4\nu+3)(2\nu+1)!}\approx \frac 13 - \frac 1{7\cdot 3!} = \frac{13}{42} $

Fehler nach Leibniz:

$\displaystyle \frac 1{11\cdot 5!}\leq 10^{-3} $

(Korrektes Ergebnis: 0.31027)
(Prof. Dr. Eberhard Teufel, Dr. Norbert Röhrl)
[Zurück zur Aufgabe]
  automatisch erstellt am 13. 10. 2006