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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zur Aufgabe vollständige Induktion. zu

Aufgabe 1497: vollständige Induktion

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(3 Punkte) Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion

$\displaystyle 1^3 +3^3 + 5^3 \ldots + (2n-1)^3 = n^2(2n^2-1) $

Induktionsanfang $ n=1$: $ 1= 1(2-1)$.

Induktionsschritt:

$\displaystyle 1^3 +3^3 + 5^3 \ldots + (2n+1)^3 = n^2(2n^2-1) + (2n+1)^3 = 2n^4 -n^2 + 8n^3 + 12n^2 + 6n +1 $

$\displaystyle (n+1)^2(2(n+1)^2-1) =(n+1)^2(2n^2+4n+1) = 2n^4 + 4n^3+n^2 +4n^3+8n^2+2n + 2n^2+4n +1 $

(Prof. Dr. Eberhard Teufel, Dr. Norbert Röhrl)
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  automatisch erstellt am 28. 10. 2006