Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zur Aufgabe Untervektorraum. zu: Aufgabe 1499: Untervektorraum.

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	Aufgabe 1499: Untervektorraum.

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(4 Punkte) Seien

und

$\mathbb{R}$ -Vektorräume, $f:W\to V$ eine lineare Abbildung, und $U\subseteq V$ ein Untervektorraum. Zeigen Sie, dass $f^{-1}(U)=\{w\in W\vert f(w)\in U\}\subseteq W$ ein Untervektorraum ist.

Vorbetrachtung: $x\in f^{-1}(U)$ genau dann, wenn $f(x)=u\in U$ .

$0\in f^{-1}(U)$ , da $0\in U$ und .
Sei $x\in f^{-1}(U)$ , also $f(x)=u\in U$ . Daher ist $f(\lambda x)=\lambda u\in U$ und somit auch $\lambda x\in U$ .
Seien $x,y \in f^{-1}(U)$ , dann ist $f(x+y) =f(x)+f(y) \in U$ und somit $x+y\in f^{-1}(U)$ .

(Prof. Dr. Eberhard Teufel, Dr. Norbert Röhrl)

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automatisch erstellt am 28. 10. 2006