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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zur Aufgabe Lagrangeschen Multiplikatormethode. zu

Aufgabe 1504: Lagrangeschen Multiplikatormethode.

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
(10 Punkte) Ein Rechteck im $ \mathbb{R}^2$, mit achsenparallelen Kanten und symmetrisch bezüglich des Urspungs, lässt sich durch den Eckpunkt $ \vec{x}=\left(\begin{smallmatrix}x_1\\ x_2\end{smallmatrix}\right)\in \mathbb{R}^2$, $ x_1,x_2\geq 0$ parametrisieren. Die Koordinaten der Ecken des Rechtecks sind damit $ (± x_1, ± x_2)$. Bestimmen Sie die maximale Fläche dieses Rechtecks mit Hilfe der Lagrangeschen Multiplikatormethode, wenn sich der Punkt $ \vec{x}$ auf dem Kreis

$\displaystyle x_1^2+x_2^2-2x_2=0 $

bewegt. Begründen Sie mit Hilfe der Hesse-Matrix, warum es sich hierbei um ein Maximum handelt.

$\displaystyle H(x_1,x_2,\lambda)=4x_1x_2 + \lambda( x_1^2+x_2^2-2x_2) $

$\displaystyle 4x_2 +2\lambda x_1 &=& 0 $

$\displaystyle 4x_1+ 2\lambda(x_2-1) &=& 0 $

$\displaystyle x_1^2+(x_2-1)^2 -1&=&0 $

$ x_1,x_2\neq0$, da sonst die Fläche gleich Null, und daher sicher nicht maximal ist. Hieraus folgt insbesondere auch $ \lambda\neq 0$.

$\displaystyle x_1^2=x_2(x_2-1),$    in die dritte Gleichung: $\displaystyle 2x_2^2-3x_2=0 $

$\displaystyle x_2=\frac32\,, x_1= \frac{\sqrt{3}}2, \lambda = - 2{\sqrt{3}} $

Extremalstelle $ P=\left(\frac{\sqrt{3}}2, \frac32 \right)$

$\displaystyle \nabla g(P)= \begin{pmatrix} \sqrt{3}\\ 1 \end{pmatrix}$

$\displaystyle H= \begin{pmatrix} 2\lambda& 4 \\ 4 & 2\lambda \\ \end{pmatrix}\,, H(P)= 4\begin{pmatrix} -\sqrt{3} & 1\\ 1 & -\sqrt{3}\\ \end{pmatrix}$

Der Orthogonalraum von $ \nabla g(P)$ wird aufgespannt von

$\displaystyle \vec{v}=\begin{pmatrix} 1 \\ -\sqrt{3} \end{pmatrix}$

$\displaystyle (a\vec{v})^\top H(P) (a\vec{v}) = a^2(-2\sqrt{3}-4\sqrt{3}) $

Also handelt es sich bei $ P$ um ein Minimum.
(Prof. Dr. Eberhard Teufel, Dr. Norbert Röhrl)
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  automatisch erstellt am 29. 10. 2006