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Vektorräume |
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Begriff.
Sei ein Körper. Unter einem Vektorraum über versteht man eine Menge von Vektoren zusammen mit einer Vektoraddition
und einer Skalarmultiplikation
so, daß die folgenden Axiome erfüllt sind.
Sei . Das Standardbeispiel eines Vektorraums ist die Menge aller Spaltenvektoren mit Einträgen aus , zusammen mit der eintragsweisen Vektoraddition
und der eintragsweisen Skalarmutliplikation
Ein weiteres Beispiel ist die Menge aller Polynome mit Koeffizienten , wobei nur endlich viele sind, um eine endliche Summe zu erhalten. Die Menge wird zu einem Vektorraum über mit der Vektoraddition
und der Skalarmultiplikation
Unterräume.
Sei ein Vektorraum über dem Körper . Unter einem Unterraum von versteht man eine Teilmege von mit den folgenden Eigenschaften.
Diese Bedingungen sind gleichbedeutend damit, daß mit der in definierten Vektoraddition und Skalarmultiplikation selbst ein Vektorraum ist.
Die Teilmengen und sind stets Unterräume eines Vektorraums .
Der Durchschnitt von Unterräumen von ist wieder ein Unterraum von .
Basen.
Sei ein fester Vektorraum über dem Körper . Sei ein Tupel von Vektoren .
Unter einer Linearkombination von über versteht man einen Vektor der Form
mit . Diese Linearkombination heißt trival, falls alle sind.
Die Menge
der Linearkombinationen von wird als das Erzeugnis von bezeichnet. Es handelt sich dabei um einen Unterraum von .
Das Tupel heißt linear abhängig, falls es eine nicht-triviale Linearkombination
gibt. Anderenfalls heißt das Tupel linear unabhängig.
Das Tupel ist also linear unabhängig genau dann, wenn 0 sich nur als triviale Linearkombination von schreiben läßt.
Das Tupel heißt erzeugend in oder ein Erzeugendensystem von , falls sich jeder Vektor in als Linearkombination von schreiben läßt, d.h. falls
Das Tupel heißt eine Basis von , falls es linear unabhängig und erzeugend in ist. Dies ist gleichbedeutend damit, daß sich jeder Vektor in in eindeutiger Weise als Linearkombination von darstellen läßt.
Eine Basis des Vektorraums ist zum Beispiel die Standardbasis, bestehend aus den Einheitsvektoren
Ist eine Basis von , so ist die Anzahl der Vektoren in jeder Basis von gleich und wird als die Dimension von bezeichnet, in Zeichen . In diesem Falle heißt der Vektorraum endlichdimensional.
Der Vektorraum besitzt die Basis , das leere Tupel. Seine Dimension ist .
Besitzt der Vektorraum keine (endliche) Basis, so schreiben wir .
Ist ein Unterraum von , so gilt stets . Es gilt genau dann, wenn .
Basisauswahlsatz.
Besitzt ein Erzeugendensystem , so läßt sich aus dem Tupel durch eventuelles Weglassen von Vektoren eine Basis von auswählen. Insbesondere ist .
Ein erzeugendes Tupel in der Länge ist stets eine Basis.
Praktisches Verfahren zur Auswahl einer Basis.
Sei ein Unterraum von mit Erzeugendensystem . Um aus diesem Tupel eine Basis von auszuwählen, schreibt man die Vektoren als Spalten in eine Matrix und bringt diese auf Zeilenstufenform. Seien die Nummern der ausgewählten Spalten. Dann ist eine Basis von .
Basisergänzungssatz.
Ist ein linear unabhängiges Tupel in einem Unterraum von , so läßt es sich durch eventuelles Hinzufügen von Vektoren zu einer Basis von ergänzen. Insbesondere ist .
Ein linear unabhängiges Tupel in der Länge ist stets eine Basis.
Praktisches Verfahren zur Basisergänzung.
Sei ein linear unabhängiges Tupel von Vektoren in . Schreibe in die Spalten einer Matrix und bringe diese in Zeilenstufenform. Sind , ..., ihre ausgewählten Spalten, so ist für und eine Ergänzung von zu einer Basis von .
Direkte Summe.
Seien Unterräume des Vektorraums .
Die Summe der Unterräume ist definiert als
Die Summe von Unterräumen von ist wieder ein Unterraum von .
Diese Summe heißt direkt, in Zeichen
falls aus mit stets folgt. Diese Bedingung ist gleichbedeutend damit, daß für jeden Vektor aus die Summanden eindeutig bestimmt sind.
Im Falle zweier Unterräume , von ist die Summe direkt genau dann, wenn .
Sind Basen von gegeben für , so ist die Summe genau dann direkt, wenn das zusammengesetzte Tupel
linear unabhängig ist. In diesem Falle ist dieses Tupel eine Basis von .
Dimensionsformel.
Seien Unterräume des Vektorraums . Dann gilt die Dimensionsformel
Zassenhaus-Algorithmus.
Der Zassenhaus-Algorithmus ist ein praktisches Verfahren zur Bestimmung von Basen von und , wenn Unterräume von sind und Erzeugendensysteme jeweils gegeben sind.
Sei etwa und . Seien und die entsprechenden Zeilenvektoren. Man betrachte nun die folgende Matrix und bringe sie auf Zeilenstufenform:
Dabei seien die Zeilen und jeweils ungleich 0 .
Dann ist eine Basis von von , und ist eine Basis von .
automatisch erstellt am 16. 2. 2011 |