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Geometrie

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Sei der zugrundegelegte Körper $ K=\mathbb{R}$ oder $ K=\mathbb{C}$ . Sei $ n\geq 1$ .

Orthogonalität.

Seien $ x=\begin{pmatrix}\xi_1\\ \vdots\\ \xi_n\end{pmatrix}$ und $ y=\begin{pmatrix}\eta_1\\ \vdots\\ \eta_n\end{pmatrix}$ Vektoren im $ K^n$ .

Sei

$\displaystyle \bar{x} \;:=\; \begin{pmatrix}\bar{\xi}_1\\ \vdots\\ \bar{\xi}_n\end{pmatrix}\;. $

Ist $ K=\mathbb{R}$ , so ist $ \bar{x}=x$ .

Das Skalarprodukt von $ x$ und $ y$ ist gegeben durch

$\displaystyle \bar{x}^\mathrm{t} y \;=\; \bar{\xi}_1 \eta_1 + \bar{\xi}_2 \eta_2 +\cdots+ \bar{\xi}_n \eta_n\;. $

Die Länge (oder auch Norm) von $ x$ ist gegeben durch

$\displaystyle \Vert x\Vert \;=\; \sqrt{\bar{x}^\mathrm{t} x}\;. $

Der Vektor $ x$ heißt normiert, falls $ \Vert x\Vert=1$ .

Ist $ x\ne 0$ , so schreiben wir

$\displaystyle x^0 \;:=\; \frac{1}{\Vert x\Vert}\,x $

für den normierten Vektor von $ x$ .

Die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung schreibt sich nun

$\displaystyle \vert\bar{x}^\mathrm{t} y\vert \;\leq\; \Vert x\Vert\cdot\Vert y\Vert\;. $

Sind $ x\ne 0$ und $ y\ne 0$ , und ist $ \varphi$ der von $ x$ und $ y$ eingeschlossene Winkel, so gilt

$\displaystyle \cos\varphi \;=\; \frac{\bar{x}^\mathrm{t} y}{\Vert x\Vert\cdot\Vert y\Vert}\;. $

Die Vektoren $ x$ und $ y$ heißen orthogonal, falls $ \bar{x}^\mathrm{t} y=0$ . Im Falle $ x\ne 0$ und $ y\ne 0$ ist dies gleichbedeutend damit, daß der von $ x$ und $ y$ eingeschlossene Winkel gleich $ \pm\pi/2$ ist.

Ein Tupel $ (x_1,\ldots,x_m)$ von Vektoren in $ K^n$ heißt orthonormal, falls $ x_j$ und $ x_k$ orthogonal sind für alle $ j,k\in\{1,\ldots,m\}$ mit $ j\ne k$ , und $ x_j$ normiert ist für alle $ j\in\{1,\ldots,m\}$ .

Ein orthonormales Tupel ist insbesondere linear unabhängig. Es ist dann eine Orthonormalbasis von $ U := \langle x_1,\ldots,x_m\rangle\subseteq K^n$ .

Die orthogonale Projektion von $ K^n$ auf $ U$ ist gegeben durch

\begin{displaymath} \begin{array}{rcl} K^n & \overset{\pi_U}\longrightarrow & U ... ... \sum_{j = 1}^m (\bar{x}^\mathrm{t}_j y)x_j\; . \\ \end{array}\end{displaymath}

Der Abstand eines Punktes $ y\in K^n$ zum Unterraum $ U$ ist gegeben durch $ \Vert y - \pi_U(y)\Vert$ .

Der von dem Vektor $ y$ und dem Unterraum $ U$ eingeschlossene Winkel ist gleich dem von den Vektoren $ y$ und $ \pi_U(y)$ eingeschlossenen Winkel, falls $ \pi_U(y)\neq 0$ . Falls $ \pi_U(y) = 0$ , so ist dieser Winkel gleich $ \pm\pi/2$ - es steht $ y$ orthogonal zu $ U$ genau dann, wenn seine orthogonale Projektion auf $ U$ verschwindet.

Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren.

Seien $ x_1,\ldots,x_m\in K^n$ gegeben.

Das folgende Verfahren liefert eine Orthonormalbasis von $ \langle x_1,\ldots,x_m\rangle$ .

Setze $ x_1' := x_1^0$ .

Sind $ x_1',\ldots,x_k'$ bereits konstruiert für ein $ k<m$ , so setze man

$\displaystyle x_{k+1}' \;:=\; \left(x_{k+1}-\sum_{j=1}^k (\bar{x}_j^\mathrm{t} x_{k+1})x_j\right)^{\!\!0}\;. $

Die Normierung werde nur dann durchgeführt, wenn der zu normierende Vektor $ \ne 0$ ist. Ansonsten überspringe man den Vektor $ x_{k+1}$ und fahre mit $ x_{k+2}$ an seiner statt fort. Denn dann hat man $ x_{k+1}\in\langle x_1,\dots,x_k\rangle$ nachgewiesen, und $ x_{k+1}$ war als Erzeuger von $ U$ redundant.

Als Resultat ist $ (x_1',\ldots,x_l')$ eine Orthonormalbasis von $ \langle x_1,\ldots,x_m\rangle$ . Es gilt $ l=m$ genau dann, wenn $ (x_1,\ldots,x_m)$ linear unabhängig ist.

Kreuzprodukt.

Seien $ x=\begin{pmatrix}\xi_1\\ \xi_2\\ \xi_3\end{pmatrix}$ und $ y=\begin{pmatrix}\eta_1\\ \eta_2\\ \eta_3\end{pmatrix}$ Vektoren im $ \mathbb{R}^3$ .

Das Kreuzprodukt von $ x$ und $ y$ ist definiert als

$\displaystyle x\times y \;=\; \begin{pmatrix}\xi_1\\ \xi_2\\ \xi_3\end{pmatrix}... ...xi_3\eta_2\\ \xi_3\eta_1-\xi_1\eta_3\\ \xi_1\eta_2-\xi_2\eta_1\end{pmatrix}\;. $

Der Vektor $ x\times y$ ist orthogonal zu $ x$ und zu $ y$ . Seine Länge ist gleich dem Flächeninhalt des von $ x$ und $ y$ aufgespannten Parallelogramms. Insbesondere ist $ x\times y=0$ genau dann, wenn $ (x,y)$ linear abhängig ist.

Die Richtung von $ x\times y$ kann man sich wie folgt veranschaulichen. Man wähle ein Koordinatensystem, in dem die $ \xi_1$ -Achse in Richtung des Daumens der rechten Hand, die $ \xi_2$ -Achse in Richtung des Zeigefingers und die $ \xi_3$ -Achse in Richtung des Mittelfingers zeigt. Legt man nun den Daumen der rechten Hand in Richtung des Vektors $ x$ und den Zeigefinger in Richtung des Vektors $ y$ , so zeigt der Mittelfinger in Richtung des Kreuzproduktes $ x\times y$ .

Es gelten folgende Regeln. Seien $ x,\, y,\, z\,\in\,\mathbb{R}^3$ , und seien $ \lambda,\,\lambda',\,\mu,\,\mu'\,\in\,\mathbb{R}$ .

Hessesche Normalenform.

Sei $ U\subseteq K^n$ ein Unterraum der Dimension $ m$ , mit $ 1\leq m\leq n-1$ , und sei $ x_0\in K^n$ . Wir wollen

$\displaystyle x_0 + U \;:=\; \{ x_0 + u\; \vert\; u\in U\} \;=\; \{x\in K^n\; \vert\; Ax = b\} $

mit einer geeigneten Matrix $ A\in K^{(n - m)\times n}$ und einem geeigneten Vektor $ b\in K^{n-m}$ schreiben, und zwar derart, daß die Spalten von $ A^\mathrm{t}$ ein orthonormales Tupel bilden.

Sei hierzu $ (x_1,\dots,x_m)$ eine Basis von $ U$ , welche wir zu einer Basis $ (x_1,\dots,x_m,x_{m+1},\dots,x_n)$ von $ K^n$ ergänzen. Gram-Schmidt auf diese Basis angewandt liefert eine Orthonormalbasis $ (x'_1,\dots,x'_m,x'_{m+1},\dots,x'_n)$ derart, daß $ (x'_1,\dots,x'_m)$ eine Basis von $ U$ darstellt. Sei nun $ A\in K^{(n - m)\times n}$ die Matrix mit Zeilentupel $ (\bar{x}'^{\mathrm{t}}_{m+1},\dots,\bar{x}'^{\mathrm{t}}_n)$ . Mit $ b := Ax_0$ wird

$\displaystyle x_0 + U \;=\; \{x\in K^n\; :\; Ax - b = 0\} \; . $

Die Darstellung von $ x_0 + U$ in dieser Form heißt Hessesche Normalenform.

Der Abstand $ \Vert(y - x_0) - \pi_U(y - x_0)\Vert$ eines Punktes $ y\in K^n$ zu $ x_0 + U$ ist dann gegeben durch $ \Vert Ay - b\Vert$ .

(Autoren: Künzer/Martin/Tentler/Wahrheit)
[Beispiele] [Verweise]
  automatisch erstellt am 11.  8. 2006