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Die Jordanform |
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Eigenräume und Haupträume.
Sei
. Ein Eigenwert von
ist eine komplexe Zahl
derart, daß
es einen Vektor
gibt mit
Jeder solche Vektor heißt Eigenvektor von
zum Eigenwert
.
Das charakteristische Polynom von
ist gegeben durch
Stets läßt sich
faktorisieren in
wobei
Der Exponent
heißt algebraische Vielfachheit des Eigenwerts
.
Es ist
und
Der Eigenraum zum Eigenwert
von
ist gegeben durch
Seine Dimension heißt geometrische Vielfachheit des Eigenwerts
Der Hauptraum zum Eigenwert
von
ist gegeben durch
Seine Dimension ist gleich der algebraischen Vielfachheit von
Insbesondere ist
(geometrische Vielfachheit von
)
(algebraische Vielfachheit von
)
.
Die Zerlegung
heißt die Hauptraumzerlegung von
Die Jordanform.
Sei
und
. Die Matrix
heißt Jordanblock der Größe (oder Kantenlänge)
Eine Matrix
heißt in Jordanform, falls sie eine aus Jordanblöcken bestehende Blockdiagonalmatrix ist.
Sei
gegeben. Wir wollen eine reguläre Matrix
so finden, daß
in Jordanform ist.
Algorithmus.
Ist
ein Tupel von Vektoren im
, und ist
eine Matrix, so sei
Der nun folgende Algorithmus liefert eine Transformationsmatrix
sowie eine Jordanform
der Matrix
.
Wir können dies in einem Tableau eintragen.
Stufe ![]() |
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Stufe ![]() |
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Im Tableau trägt man dabei für
jeweils das
-fache der Vektoren einer Stufe
in die Stufe
ein, und bildet dann das
Tupel
aus dem Tupel
durch Streichen von Vektoren derart, daß schließlich in der Stufe
wieder eine Basisergänzung
zu
steht. Das Tableau sieht dann wie folgt aus.
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Stufe ![]() |
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und trage das Tupel
als Spalten in die zu bildende Matrix
Diese Ketten kann man im Tableau direkt ablesen, wenn man in Schritt (4)
jeden Vektor
der Stufe
mit seinem Bild
in der Stufe
verbindet, für alle
. Auf diese Art gewinnt man Ketten, die
alle in Stufe
beginnen. Die Vektoren jeder Kette trägt man dann in die Matrix
ein,
jeweils beginnendend mit dem Vektor in Stufe
.
Trage schließlich in die zu bildende Matrix
die Jordanblöcke
in dieser Reihenfolge auf der Hauptdiagonalen ein.
Hat man dies für alle
durchgeführt, so haben
und
am Ende die gewünschten Eigenschaften, d.h. es gilt
und
ist in Jordanform.
Erläuterungen zu diesem Algorithmus.
Die Jordanform einer Matrix
ist bis auf Reihenfolge der Jordanblöcke eindeutig bestimmt. Die Matrix
ist hingegen
nicht eindeutig bestimmt.
Minimalpolynom.
Sei
ein Polynom. Setze
Man sagt, das Polynom
annulliert die Matrix
, falls
.
Das normierte Polynom kleinsten Grades, welches
annulliert, heißt das Minimalpolynom von
und wird mit
bezeichnet.
Jedes Polynom, welches
annulliert, ist ein Vielfaches von
.
Das Minimalpolynom von
ergibt sich zu
wobei
Insbesondere ist die Nullstellenmenge von
gleich der Nullstellenmenge von
, nämlich gleich der Menge der Eigenwerte
von
.
Berechnet man das Minimalpolynom von
direkt, in der Regel unter
Zuhilfenahme von iteriert mit
multiplizierten Vektoren und
entsprechenden linearen Gleichungssystemen, so kann man auch das Minimalpolynom zur Berechnung der Eigenwerte von
heranziehen. Wir wollen dies hier nicht weiter verfolgen.
Der Satz von Cayley-Hamilton besagt, daß
ist. Insbesondere ist
ein Vielfaches von
.
Dies spiegelt sich in den Exponenten wieder, es ist
.
Diagonalisierbarkeit.
Die geometrische Vielfachheit eines Eigenwertes von
ist gleich der Anzahl der Jordanblöcke zu diesem Eigenwert.
Seine algebraische Vielfachheit ist
gleich der Summe der Kantenlängen der Jordanblöcke zu diesem Eigenwert, d.h. seine Vielfachheit auf der Hauptdiagonalen.
Die Matrix
heißt diagonalisierbar, falls es eine invertierbare Matrix
gibt mit
für eine Diagonalmatrix
,
d.h. alle Einträge von
außerhalb der Diagonalen sollen gleich Null sein. Eine Diagonalmatrix ist eine spezielle Jordanform, in welcher alle Jordanblöcke
Größe
besitzen.
Die Matrix
ist diagonalisierbar genau dann, wenn für jeden Eigenwert von
seine geometrische Vielfachheit gleich seiner algebraischen Vielfachheit ist.
Ist
als diagonalisierbar bekannt, so vereinfacht sich der Algorithmus zur Findung der Jordanform dahingehend,
daß man lediglich Basen der Eigenräume von
finden muß. In diesem Falle sind die Spalten von
die gefundenen Basisvektoren
der Eigenräume, und die Diagonaleinträge von
sind die Eigenwerte in entsprechender Reihenfolge.
siehe auch:
automatisch erstellt am 22. 8. 2006 |