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Stetigkeit |
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Norm, Folgenkonvergenz und Abschluß.
Seien . Seien .
Wir erinnern an das Skalarprodukt und die (euklidische) Norm .
Die (euklidische) Norm erfüllt folgende drei Eigenschaften für alle :
Eine Folge konvergiert gegen einen Punkt , wenn für alle ein so existiert, daß
d.h. falls für . Der Punkt heißt dann der Grenzwert der Folge .
Schreibweise: oder .
Der Grenzwert einer Folge ist eindeutig bestimmt, falls er existiert.
Es sei . Ein Punkt heißt Berührpunkt von , falls für jedes die (offene) -Umgebung
mit nichtleeren Schnitt hat. Die Menge aller Berührpunkte von heißt der Abschluß von und wird mit bezeichnet. Dies ist zugleich die Menge aller Punkte derart, daß eine Folge mit Folgegliedern in existiert, die gegen konvergiert.
Funktionsgrenzwerte.
Sei eine Teilmenge, und sei eine Funktion.
Es heißt der Grenzwert von an der Stelle , falls es für alle ein gibt mit
für alle mit
In anderen Worten, für alle gibt es ein so, daß
Existiert der Grenzwert bei , dann sagen wir, konvergiert an der Stelle gegen , und schreiben
Nach dem Folgenkriterium konvergiert gegen an der Stelle , falls für alle Folgen mit und gilt, daß .
Stetigkeit.
Sei eine Teilmenge, und sei eine Funktion.
Die Funktion heißt stetig im Punkt , wenn
d.h. wenn dieser Grenzwert existiert.
Die Funktion heißt stetig, wenn sie in allen Punkten stetig ist.
Ist mit Koordinatenfunktionen , so ist stetig in genau dann, wenn stetig in sind.
Ist ein Polynom, d.h. gilt
mit Koeffizienten und nur für endlich viele , so ist stetig.
Für stetige Funktionen , , wobei , sowie , sind auch die Funktionen
stetig.
Satz von Weierstraß.
Eine Teilmenge heißt abgeschlossen, falls , d.h. falls alle seine Berührpunkte enthält.
Die Menge heißt beschränkt, falls , d.h. falls es ein gibt, so daß für alle .
Die Menge heißt kompakt, falls sie abgeschlossen und beschränkt ist.
Sei eine stetige Funktion auf einer nicht-leeren kompakten Menge . Dann existieren nach dem Satz von Weierstraß und , d.h. es gibt , so daß
Kurz, eine stetige Funktion nimmt auf einem Kompaktum Maximum und Minimum an.
Satz von Heine-Borel.
Es sei eine Teilmenge. Unter einer offenen Überdeckung von versteht man eine Familie von offenen Mengen derart, daß
Unter einer Teilüberdeckung der Familie versteht man eine offene Überdeckung von der Form , wobei eine Teilmenge ist. Die Teilüberdeckung heißt endlich, falls die Indexmenge endlich viele Elemente hat.
Der Satz von Heine-Borel besagt nun, daß die Menge genau dann kompakt ist, wenn jede offene Überdeckung von eine endliche Teilüberdeckung besitzt.
automatisch erstellt am 11. 8. 2006 |