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Extrema und Extrema mit Nebenbedingungen |
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Lokale Extrema.
Sei . Eine Funktion besitzt ein lokales Minimum (bzw. lokales Maximum) an der Stelle , falls es ein gibt, so daß (bzw. ) für alle .
Die Funktion hat an der Stelle ein lokales Extremum, wenn an der Stelle ein lokales Minimum oder lokales Maximum hat.
Notwendige Bedingung. Sei ein innerer Punkt von , und sei partiell differenzierbar in . Hat an der Stelle ein lokales Extremum, so ist .
Ein innerer Punkt von , für den gilt, heißt kritischer Punkt. Ein kritischer Punkt ist also ein Kandidat für eine lokale Extremstelle.
Hinreichende Bedingung. Sei ein innerer Punkt von , und sei zweimal stetig differenzierbar in einer Umgebung von . Ist und positiv definit (bzw. negativ definit), so besitzt ein lokales Minimum (bzw. lokales Maximum) an der Stelle .
Ist und indefinit, so nennt man einen Sattelpunkt von . Es gibt dann für alle Punkte mit .
Multiplikatorenregel von Lagrange.
Sei . Seien und . Sei die Menge der Nullstellen von auf .
Wir sagen, besitzt ein lokales Minimum (bzw. lokales Maximum, bzw. lokales Extremum) unter der Nebenbedingung an der Stelle , falls und falls bei ein lokales Minimum (bzw. lokales Maximum, bzw. lokales Extremum) besitzt.
Notwendige Bedingung. Sei offen, und seien und stetig differenzierbar. Hat ein lokales Extremum an der Stelle unter der Nebenbedingung , und gilt , so gibt es ein mit . Der Vektor heißt Lagrangescher Multiplikator.
Diese Bedingung leitet sich folgendermaßen her. Ein Vektor an in steht tangential zu genau dann, wenn er im Kern von liegt. Notwendige Bedingung für ein lokales Minimum ist, daß entlang dieser Tangentialrichtungen die Richtungsableitung von verschwindet. Es sollte also ein Vektor im Kern von auch im Kern von liegen, d.h. der Kern der gestapelten Matrix sollte gleich dem Kern von sein. Aus Ranggründen muß also im Erzeugnis des Zeilenraumes von liegen.
Setze für .
Ein Punkt , der innerer Punkt von ist, und für den und gilt, heißt regulärer kritischer Punkt. Ein regulärer kritischer Punkt ist also ein Kandidat für eine lokale Extremstelle unter der Nebenbedingung , welcher (dank , i.e. dank Regularität) mit den Lagrangeschen Methoden behandelt werden kann.
Hinreichende Bedingung. Sei offen, und seien und zweimal stetig differenzierbar, sei , und sei . Enthalte die Matrix in den Spalten ein Basis des Kerns von , i.e. sei . Sei wieder , und zwar nun mit dem Lagrange-Multiplikator an der Stelle , den man aus der notwendigen Bedingung erhält, i.e. für den ist.
Ist nun die relative Hessematrix
positiv definit (bzw. negativ definit, bzw. definit), so besitzt ein lokales Minimum (bzw. lokales Maximum, bzw. lokales Extremum) unter der Nebenbedingung an der Stelle .
Beachte, daß die relative Hessematrix nicht nur von und , sondern auch von der Wahl der Basis des Kerns von abhängt.
Diese Bedingung leitet sich folgendermaßen her. Lokal bei können wir wie folgt beschreiben. Sei eine Matrix, deren Spalten eine Basis des Kerns von bilden. Sei so, daß .
Beachte, daß dann insbesondere und sind.
Wir fragen uns, wie von abhängt, so daß ist. Bis auf Glieder von Ordnung schreibt sich diese Bedingung nach Taylor mit als
für alle . Nun ist . Ferner ist . Desweiteren kann man als klein von erster Ordnung, und als klein von zweiter Ordnung ansehen. Bleibt
für alle , also .
Setzen wir nun in ein! Wir müssen nach Einsetzen das Extremalverhalten bei untersuchen. Bis auf Glieder von Ordnung erhalten wir dabei mit Taylor
Nun ist die Konstante für die Frage nach der Extremalität belanglos, es ist , es ist , und es ist klein von erster, sowie dann klein von zweiter Ordnung. Bleibt
zu betrachten, welches in genau dann ein lokales Maximum (resp. Minimum) hat, wenn negativ (resp. positiv) definit ist.
Praktische Anwendung der Multiplikatorenregel von Lagrange.
Setze , mit einem zunächst unbekannten Vektor . Um die regulären kritischen Punkte zu ermitteln, löse man
Das sind Gleichungen ( von , von ) für Unbekannte ( von , von ). Ist zusammen mit einem gewissen Lösung des Systems, und gilt , so ist ein regulärer kritischer Punkt.
Sei nun ein regulärer kritischer Punkt. Wir wollen ihn auf Extremalität hin untersuchen. Bilde mit dem bei erhaltenen Lagrangemultiplikator die Funktion .
Berechne eine Basis des Kerns von , und schreibe diese Basis als Spalten in die Matrix . Untersuche die relative Hessematrix auf Definitheit. Ist sie positiv definit (resp. negativ definit), so liegt in ein lokales Minimum (resp. lokales Maximum) von unter Nebenbedingung vor.
Für verschiedene zu untersuchende reguläre kritische Punkte ist es günstig, sogleich für ein beliebiges konstantes und beliebiges die Hessematrix zu bilden, um dann bei Bedarf Werte einzusetzen.
Vergleiche Barner, Flohr, Analysis II, Kap. 14.7, Aufgabe 15; Jank, Jongen, Höhere Mathematik II für Maschinenbauer, Aachener Beitr. Math. 4, Satz 8.4.12; oder Maurin, K., Analysis. Part I., Th. VIII.4.5, wo dieses hinreichende Lagrangekriterium Wiktor Szczyrba zugeschrieben wird.
Beispiele:
automatisch erstellt am 22. 8. 2006 |