Mathematik-Online: Die mehrdimensionale Substitutionsregel

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	Die mehrdimensionale Substitutionsregel

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Übersicht

Sei folgende Situation gegeben.

Sei $M \subseteq \mathbb{R}^n$ meßbar und kompakt. Sei $M\subseteq U\subseteq \mathbb{R}^n$ eine umfassende und in $\mathbb{R}^n$ offene Menge.
Sei $g: U \to \mathbb{R}^n$ eine stetig differenzierbare Funktion.
Sei $N \subseteq M$ ist meßbar mit $\mathrm{vol}(N)=0$ . Sei injektiv auf $M\smallsetminus N$ . Sei $\det g' > 0$ auf $M\smallsetminus N$ oder aber $\det g' < 0$ auf $M\smallsetminus N$ .
Sei meßbar, und sei $f:g(M) \to \mathbb{R}$ eine stetige Funktion.

Wir wollen die Funktion integrieren, und dazu substituieren. Die genannten Bedingungen an besagen hierbei grob gesprochen, daß hierzu überall regulär sein soll, ausgenommen möglicherweise auf einer vernachlässigbaren Teilmenge $N \subseteq M$ .

Es gilt die Substitutionsregel

$\displaystyle \int_{g(M)} f(x) \, \mathrm{d} x \, = \, \int_M f(g(t)) \vert \det g'(t) \vert \, \mathrm{d} t.$

Wir führen drei wichtige Anwendungen der mehrdimensionalen Substitutionsregel auf.

Polarkoordinaten im $\mathbb{R}^2$ .

Die Polarkoordinaten $(r,\varphi)^\mathrm{t} \in (0,\infty)\times[-\pi,\pi)$ eines Punktes $(x,y)^\mathrm{t} \in \mathbb{R}^2\setminus\{0\}$ sind definiert durch die Gleichungen $x = r \cos \varphi$ und $y = r \sin \varphi$ .

Betrachtet man die Polarkoordinatentransformation $g:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2$ , $(r,\varphi)^\mathrm{t} \mapsto (r \cos \varphi, r \sin \varphi)^\mathrm{t}$ , so ist stetig differenzierbar mit $\det g'(r,\varphi) = r$ .

Seien $M \subseteq [0,\infty)\times[-\pi,\pi]$ kompakt, meßbar und $f:g(M) \to \mathbb{R}$ stetig.

Dann gilt

$\displaystyle \int_{g(M)} f(x,y) \, \mathrm{d}(x,y) \, = \, \int_M f(r \cos \varphi, r \sin \varphi) r \, \mathrm{d}(r,\varphi).$

Wir bemerken, daß in der Anwendung in der Regel zunächst gegeben ist, und man sich dazu geeignet suchen muß.

Zylinderkoordinaten im $\mathbb{R}^3$ .

Die Zylinderkoordinaten $(r,\varphi,z)^\mathrm{t} \in (0,\infty)\times[-\pi,\pi) \times \mathbb{R}$ eines Punktes $(x,y,z)^\mathrm{t} \in (\mathbb{R}^2\setminus\{0\}) \times \mathbb{R}$ sind definiert durch die Gleichungen $x = r \cos \varphi$ , $y = r \sin \varphi$ und .

Betrachtet man die Zylinderkoordinatentransformation $g:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3$ , $(r,\varphi,z)^\mathrm{t} \mapsto (r \cos \varphi, r \sin \varphi,z)^\mathrm{t}$ , so ist stetig differenzierbar mit $\det g'(r,\varphi) = r$ .

Seien $M \subseteq [0,\infty)\times[-\pi,\pi]\times\mathbb{R}$ kompakt, meßbar und $f:g(M) \to \mathbb{R}$ stetig.

Dann gilt

$\displaystyle \int_{g(M)} f(x,y,z) \, \mathrm{d}(x,y,z) \, = \, \int_M f(r \cos \varphi, r \sin \varphi, z) r \, \mathrm{d}(r,\varphi,z).$

Kugelkoordinaten im $\mathbb{R}^3$ .

Die Kugelkoordinaten $(r,\psi,\varphi)^\mathrm{t} \in (0,\infty)\times [0,\pi) \times [-\pi,\pi)$ eines Punktes $(x,y,z)^\mathrm{t} \in \mathbb{R}^3\setminus\{0\}$ sind definiert durch die Gleichungen $x = r (\sin \psi) (\cos \varphi)$ , $y = r (\sin \psi) (\sin \varphi)$ und $z = r \cos \psi$ .

Betrachtet man die Kugelkoordinatentransformation $g:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3$ , $(r,\psi,\varphi)^\mathrm{t} \mapsto (r (\sin \psi) (\cos \varphi), r (\sin \psi) (\sin \varphi), r \cos \psi)^\mathrm{t}$ , so ist stetig differenzierbar mit $\det g'(r,\varphi) = r^2 \sin \psi$ .

Seien $M \subseteq [0,\infty)\times[0,\pi]\times [-\pi,\pi]$ kompakt, meßbar und $f:g(M) \to \mathbb{R}$ stetig.

Dann gilt

$\displaystyle \int_{g(M)} f(x,y,z) \, \mathrm{d}(x,y,z) \, = \, \int_M f(r (\s... ...si) (\sin \varphi), r \cos \psi) r^2 \sin \psi \, \mathrm{d}(r,\psi,\varphi).$

(Autoren: Künzer/Martin/Tentler/Wahrheit)

[Beispiele] [Verweise]

automatisch erstellt am 11. 8. 2006