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Die mehrdimensionale Substitutionsregel |
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Sei folgende Situation gegeben.
Wir wollen die Funktion integrieren, und dazu substituieren. Die genannten Bedingungen an besagen hierbei grob gesprochen, daß hierzu überall regulär sein soll, ausgenommen möglicherweise auf einer vernachlässigbaren Teilmenge .
Es gilt die Substitutionsregel
Wir führen drei wichtige Anwendungen der mehrdimensionalen Substitutionsregel auf.
Polarkoordinaten im .
Die Polarkoordinaten eines Punktes sind definiert durch die Gleichungen und .
Betrachtet man die Polarkoordinatentransformation , , so ist stetig differenzierbar mit .
Seien kompakt, meßbar und stetig.
Dann gilt
Wir bemerken, daß in der Anwendung in der Regel zunächst gegeben ist, und man sich dazu geeignet suchen muß.
Zylinderkoordinaten im .
Die Zylinderkoordinaten eines Punktes sind definiert durch die Gleichungen , und .
Betrachtet man die Zylinderkoordinatentransformation , , so ist stetig differenzierbar mit .
Seien kompakt, meßbar und stetig.
Dann gilt
Kugelkoordinaten im .
Die Kugelkoordinaten eines Punktes sind definiert durch die Gleichungen , und .
Betrachtet man die Kugelkoordinatentransformation , , so ist stetig differenzierbar mit .
Seien kompakt, meßbar und stetig.
Dann gilt
automatisch erstellt am 11. 8. 2006 |