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Flächen und Oberflächenintegrale |
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Sei
eine kompakte meßbare Menge.
Eine Fläche (im dreidimensionalen Raum) ist eine Funktion
derart, daß es eine offene Obermenge
gibt und sich
fortsetzen läßt zu einer stetig differenzierbaren Funktion
.
Der Grund für die Forderung der Existenz der größeren Menge
und der Fortsetzung
ist,
daß wir auch in Randpunkten von
die Ableitung von
betrachten wollen.
Kurz gesagt, ist
eine ,,auch auf dem Rand von
`` stetig differenzierbare Funktion.
Die Bildmenge
heißt der Träger von
.
Der Normalenvektor
der Fläche
ist an jedem Punkt
definiert durch
Wir erinnnern dabei an die Definition des Kreuzproduktes
Das Kreuzprodukt zweier Vektoren ist ein Vektor, der zu beiden Faktoren orthogonal ist, und dessen Länge dem Flächeninhalt des von den beiden Faktoren aufgespannten Parallelogramm entspricht.
Oberflächenintegral eines Vektorfeldes.
Es sei
ein stetiges Vektorfeld. Dann definieren wir das
Oberflächenintegral von
über
vermöge
Oberflächenintegral einer skalaren Funktion.
Es sei
eine stetige skalare Funktion. Dann definieren wir das Oberflächenintegral
von
über
vermöge
Das Integrationselement
steht dabei für die Integration über eine Fläche, englisch
,,surface``.
So ist z.B. der Flächeninhalt der Fläche
definiert als
Das Oberflächenintegral ist in gewissem Sinne nur abhängig vom Träger
und von der Orientierung der Fläche. Genauer, ist
eine weitere kompakte
meßbare Menge,
eine stetig differenzierbare Funktion, und ist
eine stetig differenzierbare bijektive Abbildung so, daß
und
überall, so heißen
die Flächen
und
äquivalent. Es gelten dann
Der Kurvenschwerpunkt und die 2. Guldinsche Regel.
Sei
ein Weg mit
.
Dann heißt der Punkt
mit den Koordinaten
der Kurvenschwerpunkt von
Sei nun speziell
ein Weg mit Kurvenschwerpunkt
.
Sei
die aus
entstehende Rotationsfläche bei Drehung um die
-Achse, d.h.
ist die
Fläche mit der Parametrisierung
Der 2. Guldinschen Regel zufolge berechnet sich nun den Flächeninhalt von
Mit anderen Worten, der Flächeninhalt der Rotationsfläche
Beispiele:
automatisch erstellt am 11. 8. 2006 |