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Fourierentwicklung |
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Periodische Funktionen.
Eine Funktion
heißt periodisch
mit Periode
, falls sie auf ganz
die Identität
erfüllt. Die einfachsten periodischen Funktionen sind
sowie
für .
-Linearkombinationen periodischer Funktionen sind periodisch.
Trigonometrische Polynome.
Eine Funktion der Gestalt
mit , und nennt man ( -periodisches) trigonometrisches Polynom.
Setzt man für
so ist und
Umgekehrt erhält man für aus den Koeffizienten und die Koeffizienten durch
zurück.
Beachte, daß alle Koeffizienten , genau dann reell sind, wenn stets gilt.
Trigonometrische Reihen
Eine trigonometrische Reihe mit Periode ist eine Funktionenreihe der Gestalt
mit , welche gemäß den obigen Umrechnungsregeln auch als
geschrieben werden kann.
Eine trigonometrische Reihe kann konvergieren oder divergieren.
Fourierkoeffizienten und Fourierreihen.
Es sei und eine -periodische, über integrierbare Funktion. Die Fourierkoeffizienten von sind folgendermaßen gegeben.
Wegen der -Periodizität können die auftretenden Integrale auch über jedem beliebigen Intervall der Länge berechnet werden.
Dann hängen die Koeffizienten , und wie oben beschrieben zusammen.
Ist die Funktion auf eine bis auf endlich viele Ausnahmestellen gerade Funktion, oder allgemeiner, ist dort fast überall , so gilt für alle .
Ist die Funktion auf eine bis auf endlich viele Ausnahmestellen ungerade Funktion, oder allgemeiner, ist dort fast überall , so gilt für alle .
Die Fourierreihe oder Fourierentwicklung von ist gegeben durch
Konvergenz von Fourierreihen.
Sei -periodisch und integrierbar über . Gilt für , daß dort
Anschaulich gesprochen, hat bei eine Tangente von links und eine Tangente von rechts, so ist der Wert der Fourierreihe bei genau der Mittelwert des links- und rechtsseitigen Funktionswertes von an dieser Stelle.
Insbesondere, ist bei differenzierbar, so ist . Das ist der Regelfall.
Allgemeiner, auch wenn bei stetig und links- wie rechtsseitig differenzierbar ist, so gilt dort .
Anschaulich, hat bei einen Knick, aber sowohl links- wie rechtsseitig eine Tangente, so hat die Fourierreihe dort trotzdem den selben Funktionswert wie .
Der reelle Fall.
Ist wie oben, nur reellwertig, so ist stets , und folglich
Summandenweises Ableiten.
Es sei -periodisch, auf stetig differenzierbar bis auf endlich viele Ausnahmestellen und an diesen Ausnahmestellen noch stetig.
Sei die -periodische Funktion, die außer an den Ausnahmestellen die Ableitung von darstellt, und die an einer Ausnahmestelle den Wert annimmt, so erhalten wir durch summandenweises Differenzieren
für alle .
Kennt man umgekehrt die Fourierreihe zu und möchte auf die Fourierreihe von schließen, wobei die ebengenannten Bedingungen erfüllt, so genügt es, zu berechnen.
automatisch erstellt am 11. 8. 2006 |