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Fourierentwicklung

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Periodische Funktionen.

Eine Funktion $ f:\mathbb{R}\to \mathbb{C}$ heißt periodisch mit Periode $ p>0$ , falls sie auf ganz $ \mathbb{R}$ die Identität

$\displaystyle f(x+p)=f(x) $

erfüllt. Die einfachsten periodischen Funktionen sind

$\displaystyle \cos{\frac{2k\pi x}{p}}\quad\mathrm{und}\quad\sin{\frac{2k\pi x}{p}} $

sowie

$\displaystyle e^{2k\pi \mathrm{i}x/p} $

für $ k\in\mathbb{Z}$ .

$ \mathbb{C}$ -Linearkombinationen periodischer Funktionen sind periodisch.

Trigonometrische Polynome.

Eine Funktion $ f:\mathbb{R}\to \mathbb{C}$ der Gestalt

$\displaystyle f(x)=\sum_{k=-n}^n{c_k e^{2k\pi \mathrm{i}x/p}} $

mit $ p>0$ , $ n\in\mathbb{N}$ und $ c_{-n},\dots,c_n\in\mathbb{C}$ nennt man ($ p$ -periodisches) trigonometrisches Polynom.

Setzt man für $ k\ge 0$

\begin{displaymath} \begin{array}{rcl} a_k & := & c_k+c_{-k} \vspace{1mm}\\ b_k & := & \mathrm{i} (c_k-c_{-k}) \; , \\ \end{array} \end{displaymath}

so ist $ b_0 = 0$ und

$\displaystyle f(x)\; =\; \frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^n{\left(a_k\cos{\frac{2k\pi x}{p}}+b_k\sin{\frac{2k\pi x}{p}}\right)}\; . $

Umgekehrt erhält man für $ k\ge 0$ aus den Koeffizienten $ a_k$ und $ b_k$ die Koeffizienten $ c_k$ durch

\begin{displaymath} \begin{array}{rcl} c_k &=& \frac{1}{2}(a_k-\mathrm{i} b_k)... ...-k} &=& \frac{1}{2}(a_k+\mathrm{i} b_k) \; . \\ \end{array} \end{displaymath}

zurück.

Beachte, daß alle Koeffizienten $ a_k$ , $ b_k$ genau dann reell sind, wenn stets $ c_{-k} = \overline{c_k}$ gilt.

Trigonometrische Reihen

Eine trigonometrische Reihe mit Periode $ p>0$ ist eine Funktionenreihe der Gestalt

$\displaystyle S(x)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}{c_k e^{2k\pi \mathrm{i}x/p}}\; , $

mit $ c_k\in\mathbb{C}$ , welche gemäß den obigen Umrechnungsregeln auch als

$\displaystyle S(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^\infty{\left(a_k\cos{\frac{2k\pi x}{p}}+b_k\sin{\frac{2k\pi x}{p}}\right)} $

geschrieben werden kann.

Eine trigonometrische Reihe kann konvergieren oder divergieren.

Fourierkoeffizienten und Fourierreihen.

Es sei $ p > 0\,$ und $ f:\mathbb{R}\to \mathbb{C}\,$ eine $ p$ -periodische, über $ [0,p]\,$ integrierbare Funktion. Die Fourierkoeffizienten von $ f$ sind folgendermaßen gegeben.

\begin{displaymath} \begin{array}{rclcll} c_k & = & c_k(f) & := &\frac{1}{p}\d... ...{2k\pi t}{p}}\ \mathrm{d}t} &\ (k\ge 1) \; . \\ \end{array} \end{displaymath}

Wegen der $ p$ -Periodizität können die auftretenden Integrale auch über jedem beliebigen Intervall der Länge $ p\,$ berechnet werden.

Dann hängen die Koeffizienten $ a_k$ , $ b_k\,$ und $ c_k\,$ wie oben beschrieben zusammen.

Ist die Funktion $ f$ auf $ [-\frac{p}{2},\frac{p}{2}]$ eine bis auf endlich viele Ausnahmestellen gerade Funktion, oder allgemeiner, ist dort fast überall $ f(x) = f(-x)$ , so gilt $ b_k(f)=0$ für alle $ k\ge 1$ .

Ist die Funktion $ f$ auf $ [-\frac{p}{2},\frac{p}{2}]$ eine bis auf endlich viele Ausnahmestellen ungerade Funktion, oder allgemeiner, ist dort fast überall $ f(x) = -f(-x)$ , so gilt $ a_k(f)=0$ für alle $ k\ge 0$ .

Die Fourierreihe oder Fourierentwicklung von $ f$ ist gegeben durch

$\displaystyle \mathrm{S}_f(x) \; :=\; \sum_{k=-\infty}^{\infty}{c_k e^{2k\pi\ma... ...nfty{\left(a_k\cos{\frac{2k\pi x}{p}}+b_k\sin{\frac{2k\pi x}{p}}\right)} \; . $

Konvergenz von Fourierreihen.

Sei $ f:\mathbb{R}\to \mathbb{C}$ $ p$ -periodisch und integrierbar über $ [0,p]$ . Gilt für $ x\in\mathbb{R}$ , daß dort

(i)
$ f(x+)$ und $ f(x-)$ existieren (d.h. einseitige Grenzwerte existieren), und
(ii)
$ \lim\limits_{t\to x+}{\dfrac{f(t)-f(x+)}{t-x}}\ $ und $ \lim\limits_{t\to x-}{\dfrac{f(t)-f(x-)}{t-x}}\ $ existieren (d.h. einseitige Ableitungen existieren),
so konvergiert die Fourierreihe von $ f$ bei $ x$ gegen $ \dfrac{f(x+)+f(x-)}{2}$ .

Anschaulich gesprochen, hat $ f$ bei $ x$ eine Tangente von links und eine Tangente von rechts, so ist der Wert der Fourierreihe bei $ x$ genau der Mittelwert des links- und rechtsseitigen Funktionswertes von $ f$ an dieser Stelle.

Insbesondere, ist $ f$ bei $ x$ differenzierbar, so ist $ \mathrm{S}_f(x) = f(x)$ . Das ist der Regelfall.

Allgemeiner, auch wenn $ f$ bei $ x$ stetig und links- wie rechtsseitig differenzierbar ist, so gilt dort $ \mathrm{S}_f(x) = f(x)$ .

Anschaulich, hat $ f$ bei $ x$ einen Knick, aber sowohl links- wie rechtsseitig eine Tangente, so hat die Fourierreihe dort trotzdem den selben Funktionswert wie $ f$ .

Der reelle Fall.

Ist $ f$ wie oben, nur reellwertig, so ist stets $ c_{-k} = \overline{c_k}$ , und folglich

\begin{displaymath} \begin{array}{rcr} a_k & = & 2\,\mathrm{Re}(c_k) \;\, \vsp... ...1mm}\\ b_k & = & -2\,\mathrm{Im}(c_k) \; . \\ \end{array} \end{displaymath}

Summandenweises Ableiten.

Es sei $ f:\mathbb{R}\to \mathbb{C}$ $ p$ -periodisch, auf $ (-p,p)$ stetig differenzierbar bis auf endlich viele Ausnahmestellen und an diesen Ausnahmestellen noch stetig.

Sei $ f'$ die $ p$ -periodische Funktion, die außer an den Ausnahmestellen die Ableitung von $ f$ darstellt, und die an einer Ausnahmestelle $ x_0$ den Wert $ (\lim\limits_{x\to x_0+} f'(x) + \lim\limits_{x\to x_0-} f'(x))/2$ annimmt, so erhalten wir durch summandenweises Differenzieren

$\displaystyle f'(x) \;=\; \sum_{k = -\infty}^{\infty} c_k(f) (e^{2k\pi\mathrm{i... ...sin{\frac{2k\pi x}{p}} + b_k(f)\frac{2k\pi}{p}\cos{\frac{2k\pi x}{p}}\right)} $

für alle $ x\in\mathbb{R}$ .

Kennt man umgekehrt die Fourierreihe zu $ f'$ und möchte auf die Fourierreihe von $ f$ schließen, wobei $ f$ die ebengenannten Bedingungen erfüllt, so genügt es, $ c_0(f)$ zu berechnen.

(Autoren: Künzer/Martin/Tentler/Wahrheit)

siehe auch:

[Beispiele]
  automatisch erstellt am 11.  8. 2006