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Mathematik-Online-Kurs: Analysis einer Veränderlichen - Funktionen einer Veränderlichen - Grundlagen

Funktion

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Eine Funktion

$\displaystyle f: D\rightarrow \mathbb{R}, \quad x \mapsto f(x)$

ordnet jedem Argument $ x$ aus dem Definitionsbereich $ D \subseteq \mathbb{R}$ einen Wert $ f(x)$ aus dem Wertebereich $ W \subseteq \mathbb{R}$ zu.

Der Graph von $ f$ besteht aus den Paaren $ (x,y)$ mit $ y=f(x)$ .

\includegraphics[bb=140 533 337 718,clip,width=.45\linewidth]{Def_Bereich}

Wie aus der Abbildung ersichtlich ist, sind der Definitionsbereich (hellgrau) und der Wertebereich (dunkelgrau) die Projektionen des Graphen auf die $ x$ - bzw. $ y$ -Achse.

Um den Definitionsbereich und den Wertebereich der Funktion

$\displaystyle f(x)= \frac{\ln(3-x)}{\sqrt{x}-1}$

zu bestimmen, sind zunächst die Einschränkungen an die auftretenden elementaren Funktionen zu berücksichtigen. Das Argument des Logarithmus muss positiv und das der Wurzel nichtnegativ sein:

$\displaystyle 3-x > 0 \,\,\,\,$   und$\displaystyle \,\,\,\, x \geq 0.$

Ebenfalls darf der Nenner nicht Null werden, d.h.

$\displaystyle x\neq 1\,. $

Insgesamt ergibt sich:

$\displaystyle \mathrm{D}=[0,3) \backslash \{1\} = [0,1)\cup(1,3).$

Der Wertebereich von $ f$ wird durch Zeichnen des Graphen deutlich.

\includegraphics[bb=114 558 339 717,clip,width=.45\linewidth]{Def_Bereich_Bsp}

Da $ f$ für $ x\in (1,3)$ alle Werte zwischen $ -\infty$ und $ +\infty$ annimmt, gilt $ W=\mathbb{R}$.

(Autoren: Höllig/Hörner/Knesch)
Die folgende Tabelle zeigt die Definitions- und Wertebereiche einiger elementarer Funktionen:

$ f(x)$ $ D$ $ W$
$ 1/x$ $ \mathbb{R}\setminus\{0\}$ $ \mathbb{R}\setminus\{0\}$
$ \ln x$ $ (0,\infty)$ $ \mathbb{R}$
$ \tan x$ $ \mathbb{R}\setminus\{x\,:\,x=(2k+1)\pi/2, \ k\in\mathbb{Z}\}$ $ \mathbb{R}$
$ \sqrt{x}$ $ [0,\infty)$ $ [0,\infty)$
(Autoren: Höllig/Hörner/Knesch)
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  automatisch erstellt am 5.1.2017