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Mathematik-Online-Kurs: Analysis einer Veränderlichen - Differentiation - Kurvendiskussion | |
Kurvendiskussion |
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Eine entsprechende Analyse der Funktion wird als Funktionsuntersuchung bezeichnet.
Symmetrie: Da
ist die Funktion ungerade.
Periodizität: Die Funktion ist wie die Sinusfunktion selbst
-periodisch und wird im Folgenden daher nur auf dem
Intervall
betrachtet.
Unstetigkeitsstellen und Polstellen: Die Funktion ist aus stetigen Funktionen zusammengesetzt und hat daher keine Unstetigkeitsstellen oder Polstellen.
Nullstellen:
Aus dem Additionstheorem folgt
, und somit ist
Extrema: Die Ableitung
Wendepunkte: Die zweite Ableitung
Asymptoten: Die Funktion ist periodisch und nicht konstant, hat also keine Asymptoten.
Symmetrie: Der Zähler ist ungerade und der Nenner gerade. Die Funktion ist also ungerade, d.h. punktsymmetrisch zum Ursprung.
Periodizität: Die Funktion ist nicht periodisch.
Unstetigkeitsstellen und Polstellen:
Der Nenner besitzt bei einfache Nullstellen.
Da der Zähler an diesen Punkten nicht Null ist, sind die
Definitionslücken nicht hebbar, und
und
sind einfache
Polstellen.
Nullstellen: Der Zähler verschwindet für .
Extrema: Die Ableitung
Wendepunkte: Die zweite Ableitung
Asymptoten: Mit Polynomdivision erhält man
(i) Qualitatives Verhalten:
Wie die Exponentialfunktion besitzt auch keine Symmetrien und ist
nicht periodisch.
Unstetigkeitsstellen der Ableitung (Knicke) treten für aufgrund des
Knicks der Betragsfunktion bei dem Argument 0 auf.
Da
für alle
ist
Asymptote für
.
Für
existiert keine Asymptote, da
.
(ii) Nullstellen:
Wegen der Positivität der Exponentialfunktion
werden die Nullstellen durch den ersten Faktor bestimmt und liegen bei
.
Da
sind die Nullstellen ebenfalls globale Minima.
Ein globales Maximum existiert nicht, denn
.
(iii) Extrema:
Da
enthalten die Intervalle
und
jeweils mindestens ein lokales Maximum.
Ableiten von
(iv) Wendepunkte: Die Nullstellen von
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automatisch erstellt am 5.1.2017 |