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Mathematik-Online-Kurs: Lineare Algebra - Grundlegende Strukturen - Vektorräume

Vektorraum

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Eine abelsche Gruppe $ (V,+)$ heißt Vektorraum über einem Körper $ K$ oder $ K$-Vektorraum, wenn eine Skalarmultiplikation ,,$ \cdot$`` definiert ist, die $ (\lambda,v) \in K \times V$ das Produkt $ \lambda \cdot v \in V$ zuordnet und folgende Eigenschaften besitzt. Für alle Skalare $ \lambda, \lambda_1, \lambda_2 \in K$ und alle Vektoren $ v$, $ v_1$, $ v_2 \in V$ gilt:


$\displaystyle (\lambda_1+\lambda_2)\cdot v$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \lambda_1\cdot v + \lambda_2\cdot v$  
$\displaystyle \lambda\cdot(v_1+v_2)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \lambda\cdot v_1 + \lambda\cdot v_2$  
$\displaystyle (\lambda_1\cdot\lambda_2)\cdot v$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \lambda_1\cdot(\lambda_2\cdot v)$  
$\displaystyle 1\cdot v$ $\displaystyle =$ $\displaystyle v\,.$  

Ist $ K=\mathbb{R}$ bzw. $ K=\mathbb{C}$, so spricht man von einem reellen bzw. komplexen Vektorraum und lässt den Punkt für die skalare Multiplikation im Allgemeinen weg.

Man beachte, dass das Pluszeichen sowohl für die Addition in $ V$ als auch für die Addition in $ K$ benutzt wird. Ebenso wird der Malpunkt auch für die Multiplikation in $ K$ verwendet.

(Autoren: App/Kimmerle)

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  automatisch erstellt am 14.6.2012