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Mathematik-Online-Kurs: Lineare Algebra - Analytische Geometrie - Orthogonale Gruppen

Drehachse und Drehwinkel

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Jede Drehung $ Q$ im $ \mathbb{R}^3$ besitzt eine Drehachse, d.h. lässt einen Einheitsvektor $ u$ invariant, und entspricht einer ebenen Drehung um einen Winkel $ \varphi$ in der zu $ u$ orthogonalen Ebene.

Bezüglich eines orthonormalen Rechtssystems $ u,v,w$ besitzt Q die Matrixdarstellung

$\displaystyle \tilde Q = \left(\begin{array}{ccc} 1&0&0 \\ 0&\cos\varphi & -\sin\varphi \\ 0&\sin\varphi & \cos\varphi \\ \end{array}\right) \,. $

Insbesondere gilt für den Drehwinkel

$\displaystyle \cos\varphi = \frac{1}{2}\left(\operatorname{Spur} Q - 1\right)\,. $

(Inhalt vorübergehend nicht verfügbar)
Die Matrix

$\displaystyle Q = \frac{1}{2} \left( \begin{array}{ccc} 1 & -\sqrt{2} & 1 \\ \sqrt{2} & 0 & -\sqrt{2} \\ 1 & \sqrt{2} & 1 \end{array} \right) $

ist eine Drehmatrix, denn

$\displaystyle Q^{\operatorname t}Q = \frac{1}{4} \left( \begin{array}{ccc} 4 & ... ...\\ 0 & 0 & 4 \end{array} \right) = E \Rightarrow Q^{\operatorname t}= Q^{\ast} $

und

$\displaystyle \operatorname{det} Q = \operatorname{det} \frac{1}{2} \left( \beg... ...\\ \sqrt{2} & 0 & -\sqrt{2} \\ 1 & \sqrt{2} & 1 \end{array} \right) = + 1 \,. $

Die Drehachse bestimmt man als Eigenvektor $ u$ zum Eigenwert $ \lambda = 1$:

$\displaystyle \frac{1}{2} \underbrace{\left( \begin{array}{ccc} -1 & -\sqrt{2} ... ... \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)\,. $

Den Drehwinkel $ \varphi$ bestimmt man aus

$\displaystyle \cos \varphi = \frac{1}{2}(\operatorname{Spur}Q-1) = \frac{1}{2}(1 - 1) = 0 $

als $ \varphi = \pm \frac{\pi}{2}$.

Das Vorzeichen von $ \varphi$ hängt von der Orientierung der Drehachsenrichtung $ u$ ab und kann mit Hilfe eines Rechtssystems $ \lbrace u,v,w\rbrace$ bestimmt werden:

$\displaystyle w^{{\operatorname t}} Q v = w^{{\operatorname t}} (\cos \varphi v + \sin \varphi w) = \sin \varphi\,. $

Mit

$\displaystyle v = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right)\,, \q... ...{array}{c} - \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{array} \right) $

folgt für das betrachtete Beispiel

$\displaystyle \sin \varphi = ( - \frac{1}{\sqrt{2}} \quad 0 \quad \frac{1}{\sqr... ...ay}{c} - \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{array} \right) = 1 $

also $ \varphi = \frac{\pi}{2}$.
(Autor: Wipper)
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  automatisch erstellt am 14.6.2012