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Mathematik-Online-Kurs: Lineare Algebra - Grundlegende Strukturen - Vektorräume

Linearkombination

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Für Vektoren $ v_1, v_2,\dots,v_m$ in einem $ K$-Vektorraum $ V$ bezeichnet man

$\displaystyle \lambda_1 \cdot v_1 + \lambda_2 \cdot v_2 +\dots + \lambda_m \cdot v_m = \sum_{i=1}^m \lambda_i \cdot v_i $

mit Skalaren $ \lambda_i \in K$ als Linearkombination der $ v_i$.

Allgemeiner versteht man für $ W \subset V$ unter einer Linearkombination aus $ W$ eine Linearkombination aus endlich vielen Vektoren von $ W$.

(Autoren: App/Kimmerle)
Der Vektor

$\displaystyle v=(1,2,3)^{\operatorname t}$

ist eine Linearkombination der Vektoren

$\displaystyle v_1=(3,4,5)^{\operatorname t},\, v_2=(1,1,1)^{\operatorname t},$

denn

$\displaystyle v=v_1-2v_2\,.$

Hingegen ist

$\displaystyle v=(1,0)^{\operatorname t}$

keine Linearkombination der Vektoren

$\displaystyle v_1=(0,1)^{\operatorname t},\, v_2=(0,2)^{\operatorname t},$

denn jede Linearkombination von $ v_1$ und $ v_2$ hat die Form $ (0,\ast)^{\operatorname t}$.

Schließlich kann

$\displaystyle v=(0,0,0,0)^{\operatorname t}$

auf verschiedene Weise als eine Linearkombination der Vektoren

$\displaystyle v_1=(1,1,0,0)^{\operatorname t},\, v_2=(0,2,2,0)^{\operatorname t},\, v_3=(0,0,3,3)^{\operatorname t},\, v_4=(4,0,0,4)^{\operatorname t} $

dargestellt werden:

$\displaystyle v=\lambda (12 v_1- 6 v_2 + 4 v_3 - 3 v_4)$

mit $ \lambda \in \mathbb{R}$.

(Autoren: App/Höllig)
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  automatisch erstellt am 14.6.2012