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Mathematik-Online-Kurs: Lineare Algebra - Normalformen - Eigenwerte und Eigenvektoren

Summe und Produkt von Eigenwerten

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Für die Eigenwerte $ \lambda_i$ einer $ (n\times n)$-Matrix $ A$ gilt

$\displaystyle \sum_{i=1}^n \lambda_i = \operatorname{Spur} A,\quad \prod_{i=1}^n \lambda_i = \operatorname{det} A \,, $

wobei mehrfache Eigenwerte entsprechend ihrer algebraischen Vielfachheit gezählt werden.

(Inhalt vorübergehend nicht verfügbar)
Die Matrix

$\displaystyle A=\left(\begin{array}{rr}a & b\\ c & d\end{array}\right) $

hat das charakteristische Polynom

$\displaystyle p_A(\lambda)=\lambda^2-(a+d)\lambda+(ad-bc) $

mit den Nullstellen

$\displaystyle \lambda_{1,2}=\frac{(a+d)\pm\sqrt{(a+d)^2-4(ad-bc)}}{2}\,. $

Bildet man die Summe der Eigenwerte, fällt der Wurzelausdruck weg, und man erhält

$\displaystyle \lambda_1+\lambda_2=\frac{(a+d)+(a+d)}{2}=a+d=\operatorname{Spur} A \,. $

Multipliziert man die Eigenwerte erhält man mit der dritten Binomischen Formel

$\displaystyle \lambda_1 \lambda_2=\frac{(a+d)^2-(a+d)^2+4(ad-bc)}{4}=ad-bc=\operatorname{det} A \,. $

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  automatisch erstellt am 14.6.2012