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Mathematik-Online-Kurs: Differentialrechnung mehrerer Veränderlicher - Extremwerte

Kuhn-Tucker-Bedingungen

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Ist $ x_*$ ein lokales Minimum einer skalaren Funktion $ f$ unter den Nebenbedingungen $ g_i(x)\ge 0$ und sind die Gradienten der aktiven Gleichungen $ g_i(x_*)=0$, $ i\in I$, linear unabhängig, dann existieren Lagrange-Multiplikatoren $ \lambda_i\ge0$, so dass

$\displaystyle \operatorname{grad}f(x_*) = \sum_{i\in I} \lambda_i\,\operatorname{grad}\,g_i(x_*)\, . $

Für ein lokales Maximum ist entsprechend $ \lambda_i\le0$.

\includegraphics[width=0.5\linewidth]{bild_kuhn_tucker}
Geometrisch bedeutet die Kuhn-Tucker Bedingung für ein Minimum, dass der Gradient der Zielfunktion in dem durch die Gradienten der aktiven Nebenbedingungen aufgespannten Kegel (gestrichelt) liegt.

Die Indexmenge $ I$ lässt sich auch implizit durch die Bedingungen

$\displaystyle \lambda^{\operatorname t}g(x_*) = 0\,, \qquad \lambda \geq 0 \,, $

festlegen. Ist $ g_k(x_*)>0$, so folgt $ \lambda_k=0$, d.h. die nichttrivialen Multiplikatoren entsprechen den aktiven Nebenbedingungen.

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  automatisch erstellt am 5.1.2017