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Mathematik-Online-Kurs: Differentialgleichungen - Laplace-Transformation - Definition und Eigenschaften

Laplace-Transformation

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Ist $ u(t)\exp(-at)$ auf $ [0,\infty)$ absolut integrierbar, so existiert das Integral

$\displaystyle U(s) = \int\limits_0^\infty u(t)\exp(-st)\,dt $

für $ \operatorname{Re} s\ge a$ und wird als Laplace-Transformation bezeichnet: $ U = \mathcal{L}u$.

Der Operator $ \mathcal{L}:u\rightarrow U=\mathcal{L}u$ ist linear und injektiv, d.h.

$\displaystyle \mathcal{L}(u+v) = \mathcal{L}u + \mathcal{L}v,\quad \mathcal{L}(\lambda u) = \lambda \mathcal{L}u $

und

$\displaystyle \mathcal{L}u=0\ \Rightarrow\ u=0 \,. $

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  automatisch erstellt am 6.6.2011