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Mathematik-Online-Kurs: Vektoranalysis - Potentialtheorie - Vektorpotential

Konstruktion eines Vektorpotentials

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Für ein quellenfreies, stetig differenzierbares Vektorfeld $ \vec{F}$ lässt sich durch

$\displaystyle \vec{A}(x,y,z) =\left( \begin{array}{c} 0\\ \int\limits_{x_0}^x ... ...\zeta)\, d\zeta\\ -\int\limits_{x_0}^x F_y(\xi,y,z)\, d\xi \end{array}\right) $

ein Vektorpotential definieren, wenn die Integranden an den entsprechenden Punkten definiert sind. Dies ist zum Beispiel der Fall für einen Elementarbereich der Form

\begin{displaymath} \begin{array}{rcccl} b_1 &<& y &<& b_2\\ c_1(y) &<& z_0,\, ... ... c_2(y)\\ a_1(y,z) &<& x_0,\,x &<& a_2(y,z)\\ \end{array}\,. \end{displaymath}

Analoge Formeln erhält man durch zyklisches Vertauschen der Variablen.
Für

$\displaystyle \vec{A} =\left( \begin{array}{c} 0\\ \int\limits_{x_0}^x F_z(\xi... ...\zeta)\, d\zeta\\ -\int\limits_{x_0}^x F_y(\xi,y,z)\, d\xi \end{array}\right) $

ist

$\displaystyle \operatorname{rot}\vec{A} = \left( \begin{array}{c} -\partial_y... ...rtial_x \int\limits_{z_0}^z F_x(x_0,y,\zeta)\, d\zeta\\ \end{array}\right)\,. $

Da $ \vec{F}$ stetig differenzierbar ist, können das Differenzieren und Integrieren vertauscht werden, und es ergibt sich

$\displaystyle \operatorname{rot}\vec{A} = \left( \begin{array}{c} -\int\limit... ...z)\, d\xi + F_x(x_0,y,z) \\ F_y(x,y,z)\\ F_z(x,y,z)\\ \end{array}\right)\,. $

Da $ \vec{F}$ quellenfrei ist, gilt $ \partial_x F_x +\partial_y F_y +\partial_z F_z =0$. Die beiden Integrale im ersten Eintrag lassen sich also durch das Integral über $ \partial_xF_x$ ersetzen, und der letzte Summand hebt den Wert an der unteren Grenze auf.

Es soll ein Vektorpotential für das Vektorfeld

$\displaystyle \vec{F} = \vec{a} \times \vec{r} = \left(\begin{array}{c} a_2z-a_3y\\ a_3x-a_1z\\ a_1y-a_2x\end{array}\right) $

bestimmt werden. Da $ \operatorname{div}\vec{F} = 0+0+0$ ist, existiert ein solches Vektorpotential $ \vec{A}$. Als Basispunkt $ (x_0,y_0,z_0)$ wird der Ursprung gewählt. Es ist
$\displaystyle I_{xz} = \int\limits_{0}^x F_z(\xi,y,z)\, d\xi$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \int\limits_{0}^x a_1y-a_2\xi\,d\xi = a_1xy -a_2x^2/2\,,$  
$\displaystyle I_{zx} = \int\limits_{0}^z F_x(0,y,\zeta)\, d\zeta$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \int\limits_{0}^z a_2\zeta-a_3y\,d\zeta = a_2z^2/2-a_3yz\,,$  
$\displaystyle I_{xy} = \int\limits_{0}^x F_y(\xi,y,z)\, d\xi$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \int\limits_{0}^x a_3\xi-a_1z\, d\xi = a_3x^2/2-a_1xz\,,$  

und damit

$\displaystyle \vec{A} = \left(\begin{array}{c} 0 \\ I_{xz} -I_{zx} \\ -I_{... ...}{c} 0\\ a_1xy+a_3yz-(x^2+z^2)a_2/2 \\ -(a_3x^2/2-a_1xz)\end{array}\right)\,. $

Dieses Vektorpotential weist nicht mehr die Symmetrie des Vektorfeldes $ \vec{F}$ auf. Dies liegt an der unsymmetrischen Konstruktionsweise. Ein symmetrisches Vektorpotential für $ \vec{F}$ ist

$\displaystyle \vec{A} = \left(\begin{array}{c} a_2xy-a_1y^2/2\\ a_3yz-a_2z^2/2\\ a_1xz-a_3x^2/2 \end{array}\right)\,. $

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  automatisch erstellt am 9.10.2013