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Mathematik-Online-Kurs: Fourier-Analysis - Diskrete Fourier-Transformation - Schnelle Fourier-Transformation

Fourier-Matrix

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Durch Bilden von Potenzen der Einheitswurzel

$\displaystyle w_n = \exp(2\pi\mathrm{i}/n) $

erhält man die so genannte Fourier-Matrix

$\displaystyle W_n = \left(\begin{array}{ccc} w_n^{0\cdot 0} & \cdots & w_n^{0\... ...\ w_n^{(n-1)\cdot 0} & \cdots & w_n^{(n-1)\cdot (n-1)} \end{array}\right)\, . $

Sie ist nach Normierung ( $ W_n \to W_n/\sqrt{n}$) unitär, d.h. $ W_n^\ast W_n/n$ ist die Einheitsmatrix.
Die Orthogonalität der Spalten überprüft man leicht. Das komplexe Skalarprodukt der $ (j+1)$-ten und $ (k+1)$-ten Spalten ist

$\displaystyle \sum_{\ell=0}^{n-1} w_n^{\ell j} \overline{w_n^{\ell k}} = \sum_\ell w_n^{(j-k)\ell} = \frac{w_n^{(j-k)n} - 1}{w_n^{j-k}-1}\, , $

und da $ w_n^n=1$, ist der Zähler null.
Für $ n=4$ ist $ w_4 = \exp(2\pi\mathrm{i}/4)=\mathrm{i}$, und man erhält

$\displaystyle W_4 = \left(\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & \mathrm{i}... ... 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & -\mathrm{i} & -1 & \mathrm{i} \end{array}\right)\, . $

Nach Division durch 2 ist $ W_4$ unitär, d.h.

$\displaystyle \left(\frac{1}{2} W_4^\ast\right)\left(\frac{1}{2}W_4\right) =E\,. $

Dabei ist $ W_4^\ast = \overline{W_4}^\mathrm{t} = \overline{W_4}$ aufgrund der Symmetrie der Fourier-Matrix.
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  automatisch erstellt am 13.11.2013