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Mathematik-Online-Kurs: Repetitorium HM III - Funktionentheorie | |
Laurentreihen, Singularitäten |
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Funktionen, die nicht mehr auf einer vollen Kreisscheibe, sondern nur noch auf einem Kreisring holomorph sind, kann man unter Hinzunahme negativer Glieder immer noch um den Mittelpunkt in eine Reihe entwickeln, in eine sogenannte Laurentreihe.
Sei , sei , sei ein offener Kreisring. Desweiteren sei , und sei ebenfalls zugelassen. In der Anwendung ist häufig , d.h. es liegt eine gelochte Kreissscheibe vor.
Sei eine holomorphe Funktion. Sei , und sei für . Für sei
Ist , so heißt isolierte Singularität von . Man unterscheidet Arten solcher Singularitäten.
Ist für alle , so ist zu einer holomorphen Funktion auf der ungelochten Kreisscheibe fortsetzbar. Dementsprechend heißt hebbare Singularität von .
Ist keine hebbare Singularität, wird aber die Folge , , ... noch irgendwann konstant Null, so heißt Pol von . Das größte mit gibt seine Ordnung an. Diesenfalls gibt es für jedes ein so, daß für , man schreibt (uneigentliche Konvergenz).
Wird diese Folge , , ... nicht irgendwann konstant Null, so heißt wesentliche Singularität von . Dann gilt nach Casorati-Weierstraß, daß es für alle und für alle ein gibt mit . Insbesondere ist für nicht konvergent, auch nicht uneigentlich.
automatisch erstellt am 21.3.2003 |