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Mathematik-Online-Kurs: Repetitorium HM III - Laplace Transformation

Laplace Transformation


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Sei $ \mbox{$c\in\mathbb{R}$}$. Für eine Funktion $ \mbox{$f:[0,\infty)\to\mathbb{R}$}$ mit $ \mbox{$f\in O(\exp(ct))$}$ wird durch

$ \mbox{$\displaystyle
F:(c,\infty)\to\mathbb{R}\hspace*{1cm}\text{ mit }\hspac...
... \;{\operatorname{\mathcal{L}}}(f)(s) \; :=\; \int_0^\infty\exp(-st)f(t)\,dt
$}$
die Laplace-Transformierte von $ \mbox{$f$}$ definiert. Etwas weiter gefaßt ist die komplexe Laplace-Transformierte durch
$ \mbox{$\displaystyle
F:\{z\in\mathbb{C}:{\operatorname{Re}}(z) > c\} \to\math...
...\;{\operatorname{\mathcal{L}}}(f)(z)\; :=\; \int_0^\infty\exp(- z t)f(t)\,dt
$}$
definiert. Wir schreiben auch $ \mbox{${\operatorname{\mathcal{L}}}(f(t)) := {\operatorname{\mathcal{L}}}(t\mapsto f(t)) = {\operatorname{\mathcal{L}}}(f)$}$, d.h. wir zeichnen $ \mbox{$t$}$ als Variable aus. Seien $ \mbox{$f(t), g(t)$}$ aus $ \mbox{$O(\exp(c t))$}$, so schreiben wir auch $ \mbox{$F := {\operatorname{\mathcal{L}}}(f)$}$, $ \mbox{$G := {\operatorname{\mathcal{L}}}(g)$}$.

Das Faltungsprodukt von $ \mbox{$f$}$ und $ \mbox{$g$}$ ist als

$ \mbox{$\displaystyle
(f\ast g)(t)\; :=\; \int_0^t f(t - u) g(u)\, du
$}$
erklärt.

Die Laplace-Transformation hat folgende Eigenschaften.

Die Umkehrung der Laplace Transformation, d.h. die Bestimmung von $ \mbox{$f$}$ mit $ \mbox{${\operatorname{\mathcal{L}}}(f) = F$}$ bei gegebenem $ \mbox{$F$}$, ist unter geeigneten Voraussetzungen als

$ \mbox{$\displaystyle
\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\int_{\sigma-\mathrm{i}\infty}^{\sigma+\mathrm{i}\infty} \exp(z t)F(z)\, dz = f(t)
$}$
bestimmbar, mit einem reellen, beliebig gewählten $ \mbox{$\sigma > \max\{ 0,c\}$}$. Das Integral $ \mbox{$\int_{\sigma - \mathrm{i}\infty}^{\sigma + \mathrm{i}\infty}$}$ ist hierbei so zu verstehen, daß der Grenzwert über die Integrationswege $ \mbox{$\gamma_r: [-1,1]\to\mathbb{C}: x\mapsto \sigma + \mathrm{i}rx$}$ für $ \mbox{$r\to\infty$}$ zu bilden ist.

In der Praxis wird man angesichts dieses Ausdrucks eher versuchen, zunächst mit Hilfe obiger Eigenschaften die Laplace-Transformierte $ \mbox{$F$}$ so umzuformen, daß $ \mbox{$f$}$ unter Zuhilfenahme einer Tabelle gefunden werden kann.

Die Laplace-Transformation eignet sich zum Lösen von Differentialgleichungen, da sie Differentialoperationen in algebraische Operationen überführt, namentlich

$ \mbox{$\displaystyle
\begin{array}{rll}
{\operatorname{\mathcal{L}}}(f(t))(s...
...& s^3 F(s) - s^2 f(0+) - s f'(0+) - f''(0+) \\
& \vdots & \\
\end{array}$}$
Kann die transformierte Gleichung gelöst werden, so nach Rücktransformation auch die ursprüngliche.

(Autoren: Künzer/Meister/Nebe)

Beispiele

Aufgaben


  automatisch erstellt am 21.3.2003