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Mathematik-Online-Kurs: Komplexe Analysis - Komplexe Integration - Lokale Eigenschaften analytischer Funktionen

Integralformel für Ableitungen

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Eine in einem Gebiet $ D$ analytische Funktion $ f$ ist unendlich oft komplex differenzierbar, und es gilt

$\displaystyle f^{(n)}(z) = \frac{n!}{2\pi\mathrm{i}}\int\limits_C \frac{f(w)}{(w-z)^{n+1}}\,dw $

für jeden geschlossenen, zu einem Punkt homotopen Weg $ C$ in $ D$ mit $ z\notin C$ und $ n(C,z)=1$.
Die Cauchysche Integralformel

$\displaystyle n(C,z)f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\int\limits_C \frac{f(w)}{w-z}\,dw $

kann wegen $ z\notin C$ unter dem Integralzeichen differenziert werden. Das beweist sowohl die behauptete Glattheit von $ f$ als auch die Formel für $ f^{(n)}$.
Für ein Polynom

$\displaystyle f(w)=\sum_{k=0}^{m}a_k(w-z)^k$

und den Kreis $ C$: $ t\mapsto z+re^{\mathrm{i}t}$ ist

$\displaystyle \int\limits_{C}\frac{f(w)}{(w-z)^{n+1}}\,dw=\sum_{k=0}^{m}a_k\int\limits_C (w-z)^{k-n-1}\,dw\, .$

Mit Ausnahme von $ k=n$ besitzen alle Monome $ (w-z)^{k-n-1}$ eine Stammfunktion, so dass das Integral über den geschlossenen Weg verschwindet. Die Summe ist also für $ m<n$ null und hat für $ m \geq n$ den Wert

$\displaystyle a_n\int\limits_C\frac{dw}{w-z}=a_n\int\limits_0^{2\pi} \frac{\mathrm{i}re^{\mathrm{i}t}}{re^{\mathrm{i}t}}\,dt=2\pi \mathrm{i}\, a_n $

im Einklang mit der Integralformel für Ableitungen.
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  automatisch erstellt am 21.11.2013