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Mathematik-Online-Kurs: Repetitorium HM I - Zahlen | |
Körper |
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Ein Körper ist eine Menge
zusammen mit Operationsabbildungen
Die neutralen und inversen Elemente der Addition und Multiplikation sind eindeutig bestimmt.
Die Menge der natürlichen Zahlen
bildet mit Addition und Multiplikation keinen Körper,
da z.B.
in
kein additiv Inverses besitzt.
Ebenfalls bildet die Menge der ganzen Zahlen
mit Addition und
Multiplikation keinen Körper, da z.B.
in
kein multiplikativ Inverses besitzt.
Dahingegen bildet die Menge der rationalen Zahlen
mit Addition und Multiplikation einen Körper.
Die Menge der unendlichen Dezimalbrüche der Form
Darin findet man die rationalen Zahlen als Teilmenge der abbrechenden oder periodischen Dezimalbrüche.
Zum Beispiel sind
Zur Definition des Körpers der komplexen Zahlen führen wir
eine formale Quadratwurzel aus
ein und bezeichnen diese mit
. Dann gilt
und allgemeiner, mit
,
Die konjugiert komplexe Zahl zu
ist durch
Der Betrag von
ist definiert als
Geometrisch kann eine komplexe Zahl
in der Gaußschen Zahlenebene
dargestellt werden als ein Vektor mit den Koordinaten
und der Länge
.
Die Addition entspricht der Vektoraddition (Aneinandersetzen der
Pfeile). Bei der Multiplikation addieren sich die mit der reellen
Achse eingeschlossenen Winkel (
im Bild), und die Beträge multiplizieren sich.
automatisch erstellt am 18.6.2004 |