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Mathematik-Online-Kurs: Repetitorium HM I - Integration

Uneigentliche Integrale

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Begriff.

Sei $ \mbox{$-\infty < a < b \leq \infty$}$. Sei $ \mbox{$f: [a,b)\longrightarrow \mathbb{C}$}$ stetig. Dann heißt $ \mbox{$f$}$ uneigentlich integrierbar, falls das uneigentliche Integral

$ \mbox{$\displaystyle \int_a^b f(t)\,{\mbox{d}}t \; :=\; \lim_{x\to b-} \int_a^x f(t)\,{\mbox{d}}t $}$
in $ \mbox{$\mathbb{C}$}$ existiert. Man sagt auch, das Integral konvergiert.

Analog ist für $ \mbox{$-\infty \leq a < b < \infty$}$ die stetige Funktion $ \mbox{$f: (a,b]\longrightarrow \mathbb{C}$}$ uneigentlich integrierbar, falls das uneigentliche Integral

$ \mbox{$\displaystyle \int_a^b f(t)\,{\mbox{d}}t \; :=\; \lim_{x\to a+} \int_x^b f(t)\,{\mbox{d}}t $}$
in $ \mbox{$\mathbb{C}$}$ existiert. Man sagt auch, das Integral konvergiert.

Ferner ist für $ \mbox{$-\infty \leq a < b \leq \infty$}$ die stetige Funktion $ \mbox{$f: (a,b)\longrightarrow \mathbb{C}$}$ uneigentlich integrierbar, falls das uneigentliche Integral

$ \mbox{$\displaystyle \int_a^b f(t)\,{\mbox{d}}t \; :=\; \int_a^x f(t)\,{\mbox{d}}t + \int_x^b f(t)\,{\mbox{d}}t $}$
in $ \mbox{$\mathbb{C}$}$ existiert für ein $ \mbox{$x\in (a,b)$}$. (Dies ist dann unabhängig von der Wahl von $ \mbox{$x$}$.) Auch hier spricht man dann von einem konvergenten Integral.

In allen Fällen heißt $ \mbox{$\int_a^b f(t)\,{\mbox{d}}t$}$ absolut konvergent, falls $ \mbox{$\int_a^b \vert f(t)\vert\,{\mbox{d}}t$}$ konvergiert. Konvergiert ein uneigentliches Integral absolut, so konvergiert es schlechthin.

Es gibt somit zwei Fälle von uneigentlichen Integralen. Zum einen können Integralgrenzen gegen $ \mbox{$-\infty$}$ oder gegen $ \mbox{$+\infty$}$ laufen. Zum anderen kann die Funktion an einer endlichen Stelle nicht definiert sein. (Ist an der endlichen Stelle diese Lücke stetig hebbar, so stimmt die uneigentliche Definition des Integrals mit der bisherigen überein.)

Intuitiv gesprochen rechnet man mit uneigentlichen Integralen Flächen aus, die endlich bleiben, obwohl der zu berechnende Bereich ins Unendliche ragt - sei es, entlang der $ \mbox{$x$}$-Achse, sei es entlang einer vertikalen Asymptote.

Majorantenkriterium.

Sei $ \mbox{$-\infty \leq a < b \leq \infty$}$, sei $ \mbox{$f: (a,b)\longrightarrow \mathbb{C}$}$ die zu untersuchende stetige Funktion, und sei $ \mbox{$g:(a,b)\longrightarrow \mathbb{R}_{\geq 0}$}$ eine Majorante von $ \mbox{$f$}$, d.h. sei $ \mbox{$\vert f(t)\vert \leq g(t)$}$ für alle $ \mbox{$t\in (a,b)$}$. Falls $ \mbox{$\int_a^b g(t)\,{\mbox{d}}t$}$ konvergiert, so konvergiert $ \mbox{$\int_a^b f(t)\,{\mbox{d}}t$}$ absolut, und es ist

$ \mbox{$\displaystyle \left\vert\int_a^b f(t)\,{\mbox{d}}t\right\vert \; \leq \; \int_a^b \vert f(t)\vert\,{\mbox{d}}t \; \leq \; \int_a^b g(t)\,{\mbox{d}}t $}$

Integralkriterium für Reihen.

Sei $ \mbox{$f:[N,\infty)\to\mathbb{R}_{\geq 0}$}$ stetig und monoton fallend. Genau dann konvergiert die Reihe $ \mbox{$\sum_{n = N}^\infty f(n)$}$, wenn $ \mbox{$\int_N^\infty f(x)\,{\mbox{d}}x$}$ konvergiert. Diesenfalls ist

$ \mbox{$\displaystyle \int_N^\infty f(x)\,{\mbox{d}}x\;\leq\;\sum_{n = N}^\infty f(n)\;\leq\; f(N) + \int_N^\infty f(x)\,{\mbox{d}}x\; . $}$
(Autoren: Künzer/Martin/Nebe)

Beispiele

Aufgaben

  automatisch erstellt am 18.6.2004