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Mathematik-Online-Kurs: Interaktive Aufgaben des Schülerzirkels - Jahrgang 2007/2008 - Serie 4 Jahrgang 2007/08

Klassenstufen 9,10

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a)
Gegeben seien die Brennpunkte einer Ellipse $ F_1 = (-2\cdot \sqrt{2},0)$ und $ F_2=(2\cdot \sqrt{2},0)$. Außerdem liegt der Punkt $ P=(0,2)$ auf der Ellipse. Wie groß sind die Halbachsen?

keine Angabe , $ a= \sqrt{10},b=2$ , $ a= \sqrt{12},b=2$ , $ a=5,b=2$ .

b)
In welchem Verhältnis teilen sich die große Halbachse und die kleine Halbache einer Ellipse mit dem Mittelpunkt im Ursprung, die durch die Punkte $ P=(2,2)$ und $ Q=(4,1)$ verläuft?

keine Angabe , 2:1 , 4:1 , 1:1 .


   
(Autor: Clemens Förster)
a)
Gegeben sind die Brennpunkte $ F_1=(-2,0)$ und $ F_2=(2,0)$ einer Ellipse. Wie groß sind die Halbachsen der Ellipse, wenn das Dreieck $ F_1PF_2$ für einen bestimmten Punkt $ P=(x,y)$ gleichseitig sein soll?

keine Angabe , $ a=4,b=2\cdot \sqrt{3}$ , $ a=3,b=\sqrt{2}$ , $ a=5,b=3\cdot \sqrt{5}$ .

b)
Gegeben sind die Brennpunkte $ F_1=(-3,0)$ und $ F_2=(3,0)$ sowie die Länge der großen Halbachse $ a=4$. Für welchen Punkt $ P=(x,y)$, mit $ x>0$ und $ y>0$, auf der Ellipse ist der Winkel $ \angle F_1PF_2$ im Dreieck $ F_1PF_2$ ein rechter Winkel?

keine Angabe , $ P=(\frac{17}{9},2)$ , $ P=( \frac{\sqrt{32}}{3}, \frac{7}{3})$ , $ P=(\frac{21}{8},\frac{7}{4})$ .


   
(Autor: Clemens Förster)
Durch die Menge aller Punkte $ (z_1,z_2)$ mit

$\displaystyle \frac{p_1z_1}{a^2} + \frac{p_2z_2}{b^2} = 1 $

ist die Tangente an die Ellipse mit der Gleichung

$\displaystyle \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 $

im Ellipsenpunkt $ P=(p_1,p_2)$ gegeben.

Gegeben ist nun eine Ellipse mit der Gleichung

$\displaystyle 9\cdot x^2 + 16 \cdot y^2 = 144 .$

In welchem Punkt $ Q$ der Ellipse hat die Tangente an die Ellipse die Steigung $ m=1$?

keine Angabe , $ Q=(\frac{12}{5},-\frac{4}{5}))$ , $ Q=(-\frac{16}{5},\frac{9}{5})$ , $ Q=(\frac{3}{8},2)$ .
   

(Autor: Clemens Förster)
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  automatisch erstellt am 18.12.2024