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Mathematik-Online-Kurs: Höhere Mathematik II - Übungsblätter - Aufgabenblatt 13

Blatt 13 Aufgabe P41

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Das Spatprodukt dreier Vektoren $ a,b,c\in\mathbb{R}^3$ ist bekanntlich definiert als $ a\bullet(b\times c)$. Aus der Beziehung $ a\bullet(b\times c)=\det(a,b,c)$ ergibt sich:

$\displaystyle a\bullet(b\times c) =c\bullet(a\times b) =-b\bullet(a\times c)\,$.

Es seien die beiden stetig differenzierbaren Vektorfelder $ f,g\colon\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3$ gegeben.

Unreflektiertes naives Einsetzen und unbedachte Verwendung der durch die ,,Nabla-Schreibweise`` gegebenen Eselsbrücken könnte nun zu der irrigen Annahme führen $ \operatorname{div}(f\times g)$, $ g\bullet \operatorname{rot} f$ und $ -f\bullet \operatorname{rot} g$ stimmten überein, da ja scheinbar ,, $ \nabla \bullet (f\times g)$``, ,, $ g\bullet(\nabla\times f)$`` und ,, $ -f\bullet(\nabla\times g)$`` übereinstimmen.

Zeigen Sie, dass gilt:

$\displaystyle \operatorname{div}(f\times g)=(g\bullet \operatorname{rot} f)-(f\bullet \operatorname{rot} g)\,$.

Insbesondere bedeutet dies im Allgemeinen:

$\displaystyle g\bullet \operatorname{rot} f \neq \operatorname{div}(f\times g)\neq -f\bullet \operatorname{rot} g\,$.

Geben Sie hierzu ein konkretes Gegenbeispiel an und widerlegen Sie somit den aus der ,,Nabla-Schreibweise`` gewonnenen Trugschluss.

Diskutieren Sie die Frage, warum die ,,Merkregeln`` mit der ,,Nabla-Schreibweise`` nicht zum Rechnen geeignet sind.

(Aus: HM II Stroppel SS 2006)
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  automatisch erstellt am 14.2.2008