Mathematik-Online-Kurs: Mathematik II für Informatik und Softwaretechnik-Lösungen-Übungsblatt 11-Blatt 11, Aufgabe 5

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	Mathematik-Online-Kurs: Mathematik II für Informatik und Softwaretechnik - Lösungen - Übungsblatt 11
	Blatt 11, Aufgabe 5

Die Differentialgleichung für die zu berechnende Höhe lautet:

$\displaystyle y'(t) = K\cdot y(t)\cdot\frac{1}{t^3}$
Mit Variablentrennung ergibt sich:

$\displaystyle \int_{y_0}^y\frac{1}{y} dy$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \int_{t_0}^t\frac{K}{t^3} dt$

$\displaystyle \ln \left\vert\frac{y}{y_0}\right\vert$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\frac{1}{2}K(t^{-2}-t_0^{-2})$

$\displaystyle \Rightarrow y(t)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle A\cdot e^{-\frac{1}{2}Kt^{-2}}$

mit $A = y_0\cdot e^{\frac{1}{2}Kt_0^{-2}}$ . Die Anfangswerte ergeben dann die Lösung:

$\displaystyle y(t) = 5e^{\frac{1}{2}K}\cdot e^{-\frac{1}{2}Kt^{-2}}$
Für $t\to\infty$ gilt:

$\displaystyle y(t\to\infty) = 5e^{\frac{1}{2}K}$

(Prof. Dr. Eberhard Teufel, Dr. Norbert Röhrl)

automatisch erstellt am 28.10.2006

$\displaystyle \int_{y_0}^y\frac{1}{y} dy$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \int_{t_0}^t\frac{K}{t^3} dt$
$\displaystyle \ln \left\vert\frac{y}{y_0}\right\vert$	$\displaystyle =$	$\displaystyle -\frac{1}{2}K(t^{-2}-t_0^{-2})$
$\displaystyle \Rightarrow y(t)$	$\displaystyle =$	$\displaystyle A\cdot e^{-\frac{1}{2}Kt^{-2}}$