Mo Logo [Home] [Lexikon] [Aufgaben] [Tests] [Kurse] [Begleitmaterial] [Hinweise] [Mitwirkende] [Publikationen]
Mathematik-Online-Kurs: Mathematik II für Informatik und Softwaretechnik - Lösungen - Übungsblatt 1

Blatt 1, Aufgabe 2

[vorangehende Seite] [nachfolgende Seite] [Gesamtverzeichnis][Seitenübersicht]
Die Leibnizregel beweisen wir mit vollständiger Induktion. Als Induktionsanfang wählen wir $ n=0$ und erhalten $ (fg)^{(0)}=f^{(0)}g^{(0)}$. Für den Induktionsschritt setzen wir die Aussage für $ n$ voraus und beweisen, daß sie auch für $ n+1$ gilt. Hierzu verwenden wir die aus Aufgabe 4.2 i) des ersten Semesters bekannte Aussage

$\displaystyle \binom{n}{k-1}+\binom{n}{k}=\binom{n+1}{k}$    

Wir lassen zur besseren Übersichtlichkeit im Folgenden den Parameter $ x_0$ weg. Dann gilt
$\displaystyle (fg)^{(n+1)}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \left((fg)^{(n)}\right)^{'} = \left(\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}f^{(k)} g^{(n-k)}\right)^{'}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\left(f^{(k+1)}g^{(n-k)}+f^{(k)}g^{g(n-k+1)}\right)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\left(f^{(k+1)}g^{(n+1-(k+1))}+f^{(k)}g^{g(n+1-k)}\right)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \sum_{k=0}^{n+1}\left(\binom{n}{k-1}+\binom{n}{k}\right)f^{(k)}g^{(n+1-k)}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \sum_{k=0}^{n+1}\binom{n+1}{k}f^{(k)}g^{(n+1-k)}$  

(Prof. Dr. Eberhard Teufel, Dr. Norbert Röhrl)
[vorangehende Seite] [nachfolgende Seite] [Gesamtverzeichnis][Seitenübersicht]
  automatisch erstellt am 28.10.2006