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Mathematik-Online-Kurs: Mathematik II für Informatik und Softwaretechnik - Lösungen - Übungsblatt 2

Blatt 2, Aufgabe 3

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Reihe

$\displaystyle \frac{x}{1+x}=x\sum_{k=0}^\infty (-x)^k = \sum_{k=1}^\infty -(-x)^k $

$\displaystyle f(x)= 1-\frac{1}{1+x} $

$\displaystyle \left((1+x)^{-1}\right)^{(n)}=(-1)^nn!(1+x)^{-n-1} $

Hieraus Restglied

$\displaystyle R_n=(-1)^{n}(1+\xi )^{-n-2}x^{n+1}$    für $\displaystyle \xi \in (\min\{0,x\},\max\{0,x\}) $

mit Abschätzung

$\displaystyle \vert R_n\vert \leq (1+\min\{x,0\})^{-n-2}x^{n+1} $

$ R_n$ kongergiert also gleichmäßig gegen Null auf allen Intervallen $ [a,b]$ mit $ a>-0.5$ und $ b<1$.

Man beachte, dass dies nicht dem wirklichen Konvergenzradius entspricht, da wir die Zwischenstelle $ \xi$ nur grob abgeschätzt haben.

(Prof. Dr. Eberhard Teufel, Dr. Norbert Röhrl)
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  automatisch erstellt am 28.10.2006