Mo Logo [Home] [Lexikon] [Aufgaben] [Tests] [Kurse] [Begleitmaterial] [Hinweise] [Mitwirkende] [Publikationen]
Mathematik-Online-Kurs: LAAG Prüfungsvorbereitung (math./phys.) - Lineare Abbildungen

Ausgewählte Aufgaben

[vorangehende Seite] [nachfolgende Seite] [Gesamtverzeichnis][Seitenübersicht]
Gegeben sei der Vektorraum der reellen Polynome vom Grad kleiner gleich $ n$

$\displaystyle \mathcal{P}_n= \{ f_a:I \! \! R \longrightarrow I \! \! R \vert f_a(x)=\sum_{i=0}^na_ix^i\,, a=(a_0,\dots,a_n) \in {I \! \! R}^{n+1}\}\,. $

Eine Basis dieses Vektorraums ist $ {\mathcal B}=\{1,\,x,\,\ldots,x^n\}$.

  1. Sei $ a\in I \! \! R$ fest. Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix $ M_{T_a}^{\mathcal B,B}$ der Verschiebung

    $\displaystyle T_a:{\mathcal{P}}_n\rightarrow{\mathcal{P}}_n\,:\, p\mapsto \big(x\mapsto p(x-a)\big).$

  2. Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix $ M_{D}^{\mathcal B,B}$ der Differenziation

    $\displaystyle D: {\mathcal{P}}_n\rightarrow{\mathcal{P}}_n\,:\, p\mapsto p'.$

  3. Überprüfen Sie den Dimensionssatz für $ T_a$ und für $ D$.
Lösung:
zu 1.
Abbildungsmatrix für $ n=4$ und $ a=2$:

% latex2html id marker 1697 $ \left(\vphantom{\begin{tabular}{c}\stepcounter{mo... ...rawhtml}{6}\begin{rawhtml} '' type=''text''>\end{rawhtml}}\end{tabular}}\right.$
% latex2html id marker 1749 $ \left.\vphantom{\begin{tabular}{c}\stepcounter{mo... ...rawhtml}}\\ moFeldEingabe\\ moFeldEingabe\\ moFeldEingabe \end{tabular}}\right)$

zu 2.
Abbildungsmatrix für $ n=4$:
% latex2html id marker 1756 $ \left(\vphantom{\begin{tabular}{c}\stepcounter{mo... ...rawhtml}{6}\begin{rawhtml} '' type=''text''>\end{rawhtml}}\end{tabular}}\right.$
% latex2html id marker 1808 $ \left.\vphantom{\begin{tabular}{c}\stepcounter{mo... ...rawhtml}}\\ moFeldEingabe\\ moFeldEingabe\\ moFeldEingabe \end{tabular}}\right)$

zu 3.
Sei $ n=73$
$ T_a$ : Dimension des Kerns: , Dimension des Bildes
$ D$ : Dimension des Kerns: , Dimension des Bildes


   

(Aus: Mathematik 1 für Informatik und Softwaretechnik WS05/06; Teufel/Röhrl)
Bestimmen Sie die Matrizen für den Basiswechsel

$\displaystyle E=\left\{\begin{pmatrix}-1 \\ 2 \\ 2\end{pmatrix}, \begin{pmatr... ...rix}2 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}2 \\ 2 \\ 1\end{pmatrix}\right\}$

und stellen Sie die Vektoren $ (3,0,4)_E^{\operatorname t}$ und $ (3,0,4)_{E'}^{\operatorname t}$ jeweils bezüglich der anderen Koordinaten dar.

Antwort:
Matrix für den Basiswechsel $ E\longrightarrow E'$:

$ \left(\rule{0pt}{6ex}\right.$
$ \left.\rule{0pt}{6ex}\right)$

Matrix für den Basiswechsel $ E'\longrightarrow E$:

$ \frac19\left(\rule{0pt}{6ex}\right.$
$ \left.\rule{0pt}{6ex}\right)$

Darstellung der Vektoren:

$ (3,0,4)_E^{\operatorname t} =\big($ , , $ \big)_{E'}^{\operatorname t}$

$ (3,0,4)_{E'}^{\operatorname t} =\frac{1}{9}\big($ , , $ )_E^{\operatorname t}$


   

(Autor: Klaus Höllig)
Seien $ \boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3$ und $ \boldsymbol{e}_4$ die Vektoren der Standardbasis des $ \mathbb{R}^4$.
  1. Beweisen Sie, dass auch $ B= \left\{\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\boldsymbol{v}_3,\boldsymbol{v}_4\right\}$ mit

    $\displaystyle \boldsymbol{v}_1= \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}\,, ... ... \end{pmatrix}\,, \boldsymbol{v}_4= \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 1\\ 2 \end{pmatrix}$

    eine Basis des $ \mathbb{R}^4$ ist.
  2. Bestimmen Sie die Matrizen der Abbildungen $ f,g:\mathbb{R}^4\to \mathbb{R}^4$ mit $ f(\boldsymbol{e}_i)= \boldsymbol{v}_i$ und $ g(\boldsymbol{v}_i)= \boldsymbol{e}_i$.
  3. Bestimmen Sie die Matrix der Abbildung $ h:\mathbb{R}^4\to \mathbb{R}^4$ mit $ h\big((x_1,x_2,x_3,x_4)\big) = (x_2+x_3,x_2,0,0)$ bezüglich der Standardbasis und die Matrix von $ h$ bezüglich $ B$. Berechnen Sie den Rang der beiden Matrizen.

Lösung:

zu 2.
Matrix für f: % latex2html id marker 2293 $ \left( \vphantom{\begin{tabular}{c} \stepcounter... ...}\begin{rawhtml} '' type=''text''>\end{rawhtml}}\\ \end{tabular} } \right. $
% latex2html id marker 2327 $ \left. \vphantom{\begin{tabular}{c} \stepcounter... ...}\begin{rawhtml} '' type=''text''>\end{rawhtml}}\\ \end{tabular} } \right) $
Matrix für g: % latex2html id marker 2329 $ \left( \vphantom{\begin{tabular}{c} \stepcounter... ...}\begin{rawhtml} '' type=''text''>\end{rawhtml}}\\ \end{tabular} } \right. $
% latex2html id marker 2363 $ \left. \vphantom{\begin{tabular}{c} \stepcounter... ...}\begin{rawhtml} '' type=''text''>\end{rawhtml}}\\ \end{tabular} } \right) $

zu 3.
Matrix für h bezüglich der Standardbasis: % latex2html id marker 2373 $ \left( \vphantom{\begin{tabular}{c} \stepcounter... ...}\begin{rawhtml} '' type=''text''>\end{rawhtml}}\\ \end{tabular} } \right. $
% latex2html id marker 2407 $ \left. \vphantom{\begin{tabular}{c} \stepcounter... ...}\begin{rawhtml} '' type=''text''>\end{rawhtml}}\\ \end{tabular} } \right) $ Rang:
Matrix für h bezüglich der Basis $ B$: % latex2html id marker 2412 $ \left( \vphantom{\begin{tabular}{c} \stepcounter... ...}\begin{rawhtml} '' type=''text''>\end{rawhtml}}\\ \end{tabular} } \right. $
% latex2html id marker 2446 $ \left. \vphantom{\begin{tabular}{c} \stepcounter... ...}\begin{rawhtml} '' type=''text''>\end{rawhtml}}\\ \end{tabular} } \right) $ Rang:


   
(Aus: Mathematik 1 für Informatik und Softwaretechnik WS05/06; Teufel/Röhrl)
Es seien die Vektorräume $ V$ und $ W$ sowie eine lineare Abbildung $ T\,:\,V\to W$ gegeben. Ferner seien $ n\in \mathbb{N}$ und $ \{v_1,\ldots, v_n\}\subseteq V$. Man beweise oder widerlege durch ein Gegenbeispiel die folgenden Aussagen:
  1. $ v_1,\ldots, v_n$ linear abhängig $ \Longrightarrow$ $ T(v_1),\ldots, T(v_n)$ linear abhängig.
  2. $ v_1,\ldots, v_n$ linear unabhängig $ \Longrightarrow$ $ T(v_1),\ldots, T(v_n)$ linear unabhängig.
  3. $ T(v_1),\ldots, T(v_n)$ linear abhängig $ \Longrightarrow$ $ v_1,\ldots, v_n$ linear abhängig.
  4. $ T(v_1),\ldots, T(v_n)$ linear unabhängig $ \Longrightarrow$ $ v_1,\ldots, v_n$ linear unabhängig.

Lösung:

zu 1.
keine Angabe , wahr , falsch
zu 2.
keine Angabe , wahr , falsch
zu 3.
keine Angabe , wahr , falsch
zu 4.
keine Angabe , wahr , falsch


   

(Aus: Mathematik 1 für Informatik und Softwaretechnik WS05/06; Teufel/Röhrl)
[vorangehende Seite] [nachfolgende Seite] [Gesamtverzeichnis][Seitenübersicht]
  automatisch erstellt am 14.4.2008