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Mathematik-Online-Kurs: LAAG Prüfungsvorbereitung (math./phys.) - Gruppen

Ausgewählte Aufgaben

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Vervollständigen Sie die untenstehende Verknüpfungstabelle, so dass sie einer Gruppenverknüpfung entspricht.

\begin{displaymath} \begin{array}{\vert c\vert\vert c\vert c\vert c\vert c\vert ... ...y & & & & & & \\ \hline z & & x & & & & \\ \hline \end{array}\end{displaymath}

Antwort:

$ \diamond$ $ u$ $ v$ $ w$ $ x$ $ y$ $ z$
$ u$
$ v$
$ w$
$ x$
$ y$
$ z$

   

(Autor: Jörg Hörner)
Fertigen Sie Verknüpfungstabellen für die additive und multiplikative Gruppe des Körpers $ \mathbb{Z}_5$ an. Welche Elemente besitzen Quadratwurzeln?

Antwort:
Verknüpfungstabellen:
$ +$ 0 $ 1$ $ 2$ $ 3$ $ 4$
0
$ 1$
$ 2$
$ 3$
$ 4$
        
$ \cdot$ $ 1$ $ 2$ $ 3$ $ 4$  
$ 1$  
$ 2$  
$ 3$  
$ 4$  

Geben Sie an, ob die Elemente Quadratwurzeln besitzen:

0: keine Angabe , ja , nein
$ 1$: keine Angabe , ja , nein
$ 2$: keine Angabe , ja , nein
$ 3$: keine Angabe , ja , nein
$ 4$: keine Angabe , ja , nein

   

(Autor: Klaus Höllig)
Sei $ G$ eine Gruppe. Welche der folgenden Aussagen sind stets korrekt?

  keine Angabe wahr falsch
Wenn jedes vom Einselement verschiedene Gruppenelement von $ G$ die Ordnung 2 besitzt, dann ist $ G$ abelsch.
       
Ist $ U$ eine Untergruppe vom Index 2 in $ G$, dann ist $ U$ ein Normalteiler von $ G .$.
       
Ist $ U$ eine Untergruppe vom Index 3 in $ G$, dann ist $ U$ ein Normalteiler von $ G .$
       
Wenn jedes vom Einselement $ e$ verschiedene Gruppenelement von $ G$ die Ordnung 3 besitzt, dann ist $ G$ abelsch.


   

(Aus: Algebra Kimmerle, WS 05/06)
$ G,H$ seien Gruppen. $ G$ enthält unter anderem Elemente der Ordnung $ 1, 2, 3$ und $ 4$, $ H$ enthalte Elemente der Ordnung $ 1,2$ und $ 5$. Welche der folgenden Aussagen sind stets korrekt.

  keine Angabe wahr falsch
In $ G$ gibt es Elemente der Ordnung 6.
       
In $ G\times H$ gibt es Elemente der Ordnung 8.
       
In $ G\times H$ gibt es Elemente der Ordnung 15.
       
Es gibt einen Gruppenhomomorphismus $ \varphi: G \rightarrow H$.
       
Es gibt einen surjektiven Gruppenhomomorphismus $ \varphi: H \rightarrow G$.


   

(Aus: Algebra Kimmerle, WS 05/06)
Die Symmetriegruppe des Quadrats mit den Ecken

$\displaystyle (1,0),(0,1),(-1,0),(0,-1) $

im $ {\mathbb{R}}^2$ nennt man Diedergruppe $ D_4$.

Bestimmen Sie:

$ \vert D_4\vert$
$ \vert Z(D_4)\vert$
Anzahl der Konjugationsklassen von $ D_4$
Anzahl der Untergruppen von $ D_4$


   

(Aus: Algebra Kimmerle, WS 05/06)
Sind die folgenden Abbildungen Gruppenhomomorphismen?

i) $ f:(\mathbb{C}\setminus\{0\},\cdot) \to (\mathbb{R}\setminus\{0\},\cdot), f(z) = \vert z\vert$  keine Angabe , ja, nein
ii) $ f:(\mathbb{R},+) \to (\mathbb{R},+), f(z) = z+1$  keine Angabe , ja, nein
iii) $ f:(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z},+) \to (\mathbb{Z}/8\mathbb{Z},+), f(z+6\mathbb{Z}) = 4z+8\mathbb{Z}$  keine Angabe , ja, nein
iv) $ f:(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z},+) \to (\mathbb{Z}/8\mathbb{Z},+)$   
  $ f(z+6\mathbb{Z}) = 8\mathbb{Z}$,    wenn z gerade   
  $ f(z+6\mathbb{Z}) = 2+8\mathbb{Z}$,    wenn z ungerade  keine Angabe , ja, nein

   
Zeigen Sie, dass $ N=\{ [0],[2], [4]\}$ ein Normalteiler von $ (\mathbb{Z}/6\mathbb{Z},+)$ ist.

Bestimmen Sie die zugehörige Faktorgruppe.

Lösung:

keine Angabe , $ (\mathbb{Z}/6\mathbb{Z},+) / N \cong$      $ (\mathbb{Z}/12\mathbb{Z},+)$ ,      $ (\mathbb{Z}/6\mathbb{Z},+)$ ,      $ (\mathbb{Z}/6\mathbb{Z},\cdot)$      $ (\mathbb{Z}/4\mathbb{Z},+)$ ,      $ (\mathbb{Z}/3\mathbb{Z},+)$ ,      $ (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z},+)$ ,      $ (\mathbb{Z}/\mathbb{Z},+)$
   

(Aus: Mathematik 1 für Informatik und Softwaretechnik WS05/06; Teufel/Röhrl)
#./interaufg22.tex#Bei einem Spielwürfel werden die Zahlen von 1 bis 6 durch die üblichen Symbole dargestellt. Zwei Würfel werden als gleich bezeichnet, wenn sie sich so im Raum drehen lassen, dass entsprechende Seiten dasselbe Symbol in derselben Anordnung zeigen. Die unten abgebildeten Würfel sind in diesem Sinne also alle verschieden.

\includegraphics{wuerfel}

Wie viele unterschiedliche Spielwürfel gibt es, wenn man

a)
wie üblich fordert, dass sich die Augenzahlen gegenüberliegender Seiten zu 7 addieren?

b)
keine solche Forderung stellt?

c)
fordert, dass es mindestens ein Paar gegenüberliegender Seiten gibt, deren Augenzahlen sich zu 9 addieren?


Antwort:

a)              b)              c)    


   

(Aus: Tag der Mathematik 1992)
Wieviele Permutationen der Würfelecken sind durch Drehungen um die abgebildeten Symmetrieachsen möglich?

\includegraphics[width=0.5\linewidth]{G077_bild1}
Geben Sie eine möglichst kleine Menge von Drehungen an, durch deren Hintereinanderschaltung alle diese Permutationen erzeugt werden können. Wieviel Spiegelungsebenen hat der Würfel und wieviel Permutationen lassen sich durch zusätzliche Spiegelungen generieren?

Hinweis: Eine Hintereinanderschaltung von Drehungen und einer geraden Anzahl von Spiegelungen ist eine Drehung.

Antwort:
Anzahl der Permutationen durch Drehungen:
Anzahl der Spiegelungsebenen:
Permutationen durch zusätzliche Spiegelungen:


   

(Autor: Klaus Höllig)
Bestimmen Sie für die Permutationen

$\displaystyle \pi = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 4 & 5 & 6 & 7 & 1 & 8 & 2 & 3 \end{pmatrix}\,,\quad \pi^{-1}\,, \quad \pi\circ\pi $

die Zyklendarstellungen und das Vorzeichen.

Antwort:

Sortieren Sie in jedem Zyklus das kleinste Element an die erste Stelle und ordnen Sie die Zyklen aufsteigend nach diesem ersten Element.

$ \pi=$ keine Angabe ,
  $ (a\ b\ c\ d\ e)(f\ g\ h)$ ,
  $ (a\ b\ c\ d)(e\ f\ g\ h)$ ,
  $ (a\ b)(c\ d)(e\ f)(g\ h)$

mit
$ a=$ , $ b=$ , $ c=$ , $ d=$ ,
$ e=$ , $ f=$ , $ g=$ , $ h=$
$ \sigma(\pi)=$

$ \pi^{-1}=$ keine Angabe ,
  $ (a\ b\ c\ d\ e)(f\ g\ h)$ ,
  $ (a\ b\ c\ d)(e\ f\ g\ h)$ ,
  $ (a\ b)(c\ d)(e\ f)(g\ h)$

mit
$ a=$ , $ b=$ , $ c=$ , $ d=$ ,
$ e=$ , $ f=$ , $ g=$ , $ h=$
$ \sigma(\pi^{-1})=$

$ (\pi\circ\pi)=$ keine Angabe ,
  $ (a\ b\ c\ d\ e)(f\ g\ h)$ ,
  $ (a\ b\ c\ d)(e\ f\ g\ h)$ ,
  $ (a\ b)(c\ d)(e\ f)(g\ h)$

mit
$ a=$ , $ b=$ , $ c=$ , $ d=$ ,
$ e=$ , $ f=$ , $ g=$ , $ h=$
$ \sigma(\pi\circ\pi)=$
  

[Andere Variante]
(Aus: Scheinklausur HM2 Höllig SS05)
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  automatisch erstellt am 14.4.2008