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Mathematik-Online-Kurs: LAAG Prüfungsvorbereitung (math./phys.) - Matrizen

Ausgewählte Aufgaben

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Bestimmen Sie die Eigenvektoren der Matrix

\begin{displaymath}A=\left( \begin{array}{rrr} -11 & 2 & 8 \\ 2 & -2 & 10 \\ 8 & 10 & -5 \end{array}\right). \end{displaymath}

Geben Sie ganzzahlige Eigenvektoren mit kleinstmöglicher Länge und positivem ersten Eintrag an:

Eigenvektor zum kleinsten Eigenwert: $ \left(\rule{0pt}{8ex}\right.$
$ \left.\rule{0pt}{8ex}\right)$
Eigenvektor zum größten Eigenwert: $ \left(\rule{0pt}{8ex}\right.$
$ \left.\rule{0pt}{8ex}\right)$
Dritter Eigenvektor: $ \left(\rule{0pt}{8ex}\right.$
$ \left.\rule{0pt}{8ex}\right)$


   

(Autor: Jörg Hörner)

Bestimmen Sie Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix

$\displaystyle A=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & -1\\ 0 & 1 & -1 \\ -1 & -1 & 2 \end{array}\right) $

sowie den $ \displaystyle {\lim_{n \to \infty}} A^n x$ für $ x = (2,\,0,\,1)^{\text{t}}$.

Antwort:
a) Eigenwerte: $ \lambda_1=$ $ \le\lambda_2=$ $ \le\lambda_3=$
Eigenvektoren:
$ v_1=$
$ \left(\rule{0cm}{8ex}\right.$
1
$ \left)\rule{0cm}{8ex}\right.$
,        		 $ v_2=$
$ \left(\rule{0cm}{8ex}\right.$
0
$ \left)\rule{0cm}{8ex}\right.$
,        		 $ v_3=$
$ \left(\rule{0cm}{8ex}\right.$
-2
$ \left)\rule{0cm}{8ex}\right.$

Grenzwert: keine Angabe ,    $ v_1$ ,     $ v_2$ ,    $ v_3$


   

(K. Höllig, HM-Prüfungsaufgabe, 1. September 1992)
Bestimmen Sie für die Matrix

$\displaystyle A=\left(\begin{array}{rr}5 & -3 \\ 8 & -5 \end{array}\right) $

$ \operatorname{Spur}(A)\,,\operatorname{det}(A)\,,$ sowie Eigenwerte und Eigenvektoren.

Antwort:
Spur $ A$ = ,        det $ A$ =
Eigenwerte: ,                 (aufsteigend sortiert)
Eigenvektoren:
$ ($, $ )^{\text{t}}$,         $ ($, $ )^{\text{t}}$
(Vektor mit kleinsten ganzahligen Koeffizienten, erster Koeffizient positiv)
   

(K. Höllig, HM-Prüfungsaufgabe Herbst 2005)
Gegeben sei die Matrix

\begin{displaymath} A=\left( \begin{array}{rrr} -1& 2& -1\\ -8&-10& 8\\ -15&-14& 13\\ \end{array}\right)\,. \end{displaymath}

Berechnen Sie die Eigenwerte $ \lambda_i$ von $ A$ und geben Sie diese aufsteigend sortiert ein.

$ \lambda_1=$ $ \quad$ $ \lambda_2=$ $ \quad$ $ \lambda_3=$
   

(Autor: Andreas App)
Gegeben seien die Matrizen

$\displaystyle A=\left(\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 0 \\ 4 & 0 & 3 \\ 2 & -1 & 2 \... ...} \sqrt{2} & 1 & 2 \\ 1 & \sqrt{3} & 7 \\ 2 & 7 & \sqrt{5} \end{array}\right) $

sowie der Vektor $ v=(-1, 1, 1)^{\rm {t}}$. Berechnen Sie

$ {\rm {det}}(A^2B^2)\ =\ $

$ {\rm {sp}}(A^{-1}BA)\ =\ $$ \cdot i+$

$ {\rm {Rg}}(A+E_3)\ =\ $

$ v^{\operatorname t}Av\ =\ $

$ \left<v\times Cv, v\right>\ =\ $


   

(Aus: Prüfung HM I/II Kimmerle H02)
In den abgebildeten Matrizen sind mit $ *$ die von Null verschiedenen Einträge gekennzeichnet.

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} * & * & 0 & 0 \\ 0 & * & * & 0 \\ 0 & 0... ...& * \\ 0 & 0 & 0 & * \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

Geben Sie an, in welchen Positionen die Matrixprodukte

$\displaystyle AB,\,BC,\,(A+B)^2,\,C^2$

ungleich Null sein können.

Antwort:
Tragen sie in die Matrizen entweder 0 für einen Nulleintrag oder $ *$ für einen Eintrag ein, der ungleich Null sein kann:
$ AB=\left(\rule{0pt}{8ex}\right.$
$ \left.\rule{0pt}{8ex}\right)$      $ BC=\left(\rule{0pt}{8ex}\right.$
$ \left.\rule{0pt}{8ex}\right)$
$ (A+B)^2=\left(\rule{0pt}{8ex}\right.$
$ \left.\rule{0pt}{8ex}\right)$      $ C^2=\left(\rule{0pt}{8ex}\right.$
$ \left.\rule{0pt}{8ex}\right)$


   

(Autor: Klaus Höllig)
Gegeben seien die Matrizen

$\displaystyle A= (1\ 2)\,, B= \begin{pmatrix} 1\\ 2 \end{pmatrix}\,, C= \begin{... ...0\\ 2&3\\ \end{pmatrix}\,, D= \begin{pmatrix} 2 & 0 &1\\ 4&1&3 \end{pmatrix}$

Geben Sie an, welche der Matrixprodukte

$\displaystyle AB,BA,CD,DC^t ,DC,D^t C,D^t D,DD^t $

existieren und berechnen Sie diese.

Lösung:
(Die Matrizen sind von links oben an aufzufüllen)

$ AB$: keine Angabe , existiert , existiert nicht % latex2html id marker 3185 $ \left( \vphantom{\begin{tabular}{ccc} \stepcounte... ...l}{6}\begin{rawhtml} '' type=''text''>\end{rawhtml}}\\ \end{tabular}} \right. $
% latex2html id marker 3205 $ \left. \vphantom{\begin{tabular}{ccc} \stepcounte... ...l}{6}\begin{rawhtml} '' type=''text''>\end{rawhtml}}\\ \end{tabular}} \right) $
$ BA$: keine Angabe , existiert , existiert nicht % latex2html id marker 3215 $ \left( \vphantom{\begin{tabular}{ccc} \stepcounte... ...l}{6}\begin{rawhtml} '' type=''text''>\end{rawhtml}}\\ \end{tabular}} \right. $
% latex2html id marker 3235 $ \left. \vphantom{\begin{tabular}{ccc} \stepcounte... ...l}{6}\begin{rawhtml} '' type=''text''>\end{rawhtml}}\\ \end{tabular}} \right) $
$ CD$: keine Angabe , existiert , existiert nicht % latex2html id marker 3245 $ \left( \vphantom{\begin{tabular}{ccc} \stepcounte... ...l}{6}\begin{rawhtml} '' type=''text''>\end{rawhtml}}\\ \end{tabular}} \right. $
% latex2html id marker 3265 $ \left. \vphantom{\begin{tabular}{ccc} \stepcounte... ...l}{6}\begin{rawhtml} '' type=''text''>\end{rawhtml}}\\ \end{tabular}} \right) $
$ DC^t$: keine Angabe , existiert , existiert nicht % latex2html id marker 3275 $ \left( \vphantom{\begin{tabular}{ccc} \stepcounte... ...l}{6}\begin{rawhtml} '' type=''text''>\end{rawhtml}}\\ \end{tabular}} \right. $
% latex2html id marker 3295 $ \left. \vphantom{\begin{tabular}{ccc} \stepcounte... ...l}{6}\begin{rawhtml} '' type=''text''>\end{rawhtml}}\\ \end{tabular}} \right) $
$ DC$: keine Angabe , existiert , existiert nicht % latex2html id marker 3305 $ \left( \vphantom{\begin{tabular}{ccc} \stepcounte... ...l}{6}\begin{rawhtml} '' type=''text''>\end{rawhtml}}\\ \end{tabular}} \right. $
% latex2html id marker 3325 $ \left. \vphantom{\begin{tabular}{ccc} \stepcounte... ...l}{6}\begin{rawhtml} '' type=''text''>\end{rawhtml}}\\ \end{tabular}} \right) $
$ D^t C$: keine Angabe , existiert , existiert nicht % latex2html id marker 3335 $ \left( \vphantom{\begin{tabular}{ccc} \stepcounte... ...l}{6}\begin{rawhtml} '' type=''text''>\end{rawhtml}}\\ \end{tabular}} \right. $
% latex2html id marker 3355 $ \left. \vphantom{\begin{tabular}{ccc} \stepcounte... ...l}{6}\begin{rawhtml} '' type=''text''>\end{rawhtml}}\\ \end{tabular}} \right) $
$ D^t D$: keine Angabe , existiert , existiert nicht % latex2html id marker 3365 $ \left( \vphantom{\begin{tabular}{ccc} \stepcounte... ...l}{6}\begin{rawhtml} '' type=''text''>\end{rawhtml}}\\ \end{tabular}} \right. $
% latex2html id marker 3385 $ \left. \vphantom{\begin{tabular}{ccc} \stepcounte... ...l}{6}\begin{rawhtml} '' type=''text''>\end{rawhtml}}\\ \end{tabular}} \right) $
$ DD^t$: keine Angabe , existiert , existiert nicht % latex2html id marker 3395 $ \left( \vphantom{\begin{tabular}{ccc} \stepcounte... ...l}{6}\begin{rawhtml} '' type=''text''>\end{rawhtml}}\\ \end{tabular}} \right. $
% latex2html id marker 3415 $ \left. \vphantom{\begin{tabular}{ccc} \stepcounte... ...l}{6}\begin{rawhtml} '' type=''text''>\end{rawhtml}}\\ \end{tabular}} \right) $

   

(Aus: Mathematik 1 für Informatik und Softwaretechnik WS05/06; Teufel/Röhrl)
Die reelle Matrix

$\displaystyle A=\left(\begin{array}{rrrr} 10 & -5 & 9 & 7 \\ 0 & 3 & 0 & -1 \\ -4 & 2 & -2 & -6 \\ 0 & 1 & 0 & 5 \end{array} \right) $

besitzt einen ganzzahligen Eigenwert $ \lambda$ mit algebraischer Vielfachheit $ 4$ . Bestimmen Sie diesen Eigenwert:

$ \lambda = $ .

Bestimmen Sie die Jordansche Normalform $ J$ von $ A$ . Beginnen Sie oben mit dem größten Jordan-Kästchen:

$ J= \left(\rule{0pt}{10ex}\right.$
0 0
0 0
0 0
0 0 0
$ \left.\rule{0pt}{10ex}\right)$ .

Ergänzen Sie bei den folgenden drei Vektoren $ v_{1}$ , $ v_{2}$ und $ v_{3}$ die noch fehlenden Einträge durch Elemente aus $ \{-2,-1,0,1,2\}$ so, daß sie Eigenvektoren von $ A$ sind:

$ v_{1}= \left(\rule{0pt}{10ex}\right.$
0
$ 1$
$ \left.\rule{0pt}{10ex}\right)$ , $ v_{2}= \left(\rule{0pt}{10ex}\right.$
$ 1$
$ \left.\rule{0pt}{10ex}\right)$ , $ v_{3}= \left(\rule{0pt}{10ex}\right.$
$ 2$
$ \left.\rule{0pt}{10ex}\right)$ .

Wählen Sie für die noch offenen Einträge in folgender Matrix $ T$ Elemente aus $ \{-2,-1,0,1,2\}$ so, daß $ T$ die Matrix $ A$ auf Normalform transformiert, also $ T^{-1}AT=J$ gilt:

$ T= \left(\rule{0pt}{10ex}\right.$
$ 2$ $ 2$ $ 2$
$ -2$ $ -2$
$ \left.\rule{0pt}{10ex}\right)$ .


   

(Autor: Martin Hertweck)
Bestimmen Sie die Eigenwerte $ \lambda_i$ und Eigenvektoren $ v_i$ der Matrix

$\displaystyle A=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{rr} 3 & -1\\ 5 & -3\end{array}\right) $

sowie die Matrixpotenz $ A^{2222}$.


Lösung:

Eigenwerte von $ A$ aufsteigend sortiert: $ \lambda_1=$ ,      $ \lambda_2=$ ,

$ A^{2222}=\left(\rule{0pt}{4ex}\right.$
$ \left.\rule{0pt}{4ex}\right)$.


   

(Autor: Christian Apprich)
Sei $ A\in\mathbb{C}^{n\times n}$, mit $ n\in\mathbb{N}$. Seien außerdem $ \lambda_1,\,\ldots , \lambda_k$ die Eigenwerte von $ A$ und $ d_1,\,\ldots , d_k$ die zugehörigen geometrischen Vielfachheiten. $ E_n$ sei die Einheitsmatrix der Größe $ n\times n$. Kreuzen Sie an, welche der folgenden Aussagen wahr bzw.falsch sind:

$ A=\bar{A}$ und $ A$ symmetrisch $ \Longrightarrow$ $ A$ ist diagonalisierbar keine Angabe wahr falsch
$ d_1=\ldots = d_k=1$ $ \Longrightarrow$ $ A$ ist diagonalisierbar keine Angabe wahr falsch
$ A$ ist diagonalisierbar $ \Longrightarrow$ $ {\rm {Rg}}\,A=n$ keine Angabe wahr falsch
$ A$ ist diagonalisierbar $ \Longrightarrow$ $ A^4-A^3+E_n$ ist diagonalisierbar keine Angabe wahr falsch


   

(Aus: Prüfung HM I/II Kimmerle H02)

Berechnen Sie für die Matrix

ALT=

die Eigenwerte in Abhängigkeit von ALT= und geben Sie an, für welche ALT= die Matrix diagonalisierbar ist. Bestimmen Sie für die ALT=, für die die Matrix nicht diagonalisierbar ist, eine Transformationsmatrix, die ALT= auf Jordan-Normalform bringt.

Antwort:

Die Matrix ist nicht diagonalisierbar für ALT= , ALT= , ALT= . (Nicht benötigte Felder leer lassen.)
   

(Autor: Jörg Hörner)
Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix

$\displaystyle A=\left( \begin{array}{rrr} -2 & 2 & 3 \\ 0 & -3 & 0 \\ -3 & -1 & -2 \end{array}\right) $

und transformieren Sie $ A$ auf Diagonalform.

Antwort:

Eigenwerte nach Imaginärteil aufsteigend sortiert:

$ \lambda_1=$ $ +\mathrm{i}$ ,     $ \lambda_2=$ $ +\mathrm{i}$ ,     $ \lambda_3=$ $ +\mathrm{i}$

zugehörige Eigenvektoren:

$ v_1=\left(\rule{0ex}{6ex}\right.$
1
$ +\mathrm{i}$
$ +\mathrm{i}$
$ \left)\rule{0ex}{6ex}\right.\,,$ $ v_2=\left(\rule{0ex}{6ex}\right.$
1
$ +\mathrm{i}$
$ +\mathrm{i}$
$ \left)\rule{0ex}{6ex}\right.\,,$
$ v_3=\left(\rule{0ex}{6ex}\right.$
1
$ +\mathrm{i}$
$ +\mathrm{i}$
$ \left)\rule{0ex}{6ex}\right.$      

Damit lautet eine mögliche Kombination aus Transformationsmatrix und Diagonalform:

keine Angabe

$ Q=(v_1,v_2,v_3)$, $ D=\begin{pmatrix}\lambda_1&0&0\\ 0&\lambda_3&0\\ 0&0&\lambda_2\end{pmatrix}$

$ Q=(v_1,v_2,v_3)$, $ D=\begin{pmatrix}\lambda_1&1&0\\ 0&\lambda_2&0\\ 0&0&\lambda_3\end{pmatrix}$

$ Q=(v_2,v_1,v_3)$, $ D=\begin{pmatrix}\lambda_2&0&0\\ 0&\lambda_1&0\\ 0&0&\lambda_3\end{pmatrix}$

$ Q=(v_1,v_3,v_2)$, $ D=\begin{pmatrix}\lambda_1&0&0\\ 0&\lambda_3&1\\ 0&0&\lambda_2\end{pmatrix}$


   

(Autor: Marco Boßle)
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  automatisch erstellt am 14.4.2008