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Mathematik-Online-Kurs: Prüfungsvorbereitung HM 1/2 SS08 - Lösungen zur Probeklausur 1

Aufgabe 7

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Bestimmen Sie den Rang der folgenden Matrix $ A$ sowie die Dimension des Kerns der linearen Abbildung $ f: \mathbb{R}^4 \rightarrow \mathbb{R}^3 : v \mapsto Av$.

$ A=\left( \begin{array}{rrrr} 1 &0 &1& 1 \\ 2 &2 &4 &7 \\ 7 &4 &11 &17 \end{array} \right)$

Antwort:

$ \mathrm{Rang}(A)=$ , $ \mathrm{dim}(\mathrm{ker}(f))=$

  ja nein
Ist f injektiv?
Ist f surjektiv?

  

[Andere Variante]

a)
Mit Hilfe von Zeilenumformungen bringen wir die Matrix in Stufenform: Es gilt also:

\begin{displaymath}A \Rightarrow \left( \begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 1 & 1\\ 0 ... ...0 & 0 & 0\\ \end{array}\right) \Rightarrow\ \mathrm{Rang}(A)=2\end{displaymath}

b)
$ \mathrm{dim}(\mathrm{Kern}(f)) = 4-\mathrm{Rang}(A) = 4-2 = 2$.
c)
$ f$ ist nicht injektiv weil $ \mathrm{Kern}(f) \neq \{0\}$. $ \mathrm{dim}(\mathrm{Bild}(f)) = 3 - \mathrm{dim}(\mathrm{Kern}(f)) = 3 - 2 = 1 < 3 \Rightarrow f$ ist nicht surjektiv.
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  automatisch erstellt am 14.7.2008