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Mathematik-Online-Kurs: Prüfungsvorbereitung HM 1/2 SS08 - Lösungen zur Probeklausur 3

Aufgabe 3

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Geben Sie - falls er existiert - den Grenzwert der nachfolgenden Folgen bzw. Reihen an.

a) $ \left( \dfrac{3k^4+2k^2+1}{2k^3-7k^4+2k} \right)_{k \in \mathbb{N}}$  
b) $ \sum \limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{12k^2-3}$  
c) $ \sum \limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{3^k}$  
d) $ \sum \limits_{k=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^k2^{2k+1}}{(2k+1)!}$

 

Antwort:

a)
divergent      konvergent mit Grenzwert /
b)
divergent      konvergent mit Grenzwert /
c)
divergent      konvergent mit Grenzwert /
d)
divergent      konvergent mit Grenzwert $ \sin($ $ )$


(Brüche gekürzt mit positivem Nenner.)
  
[Andere Variante]

a)
Kürzen im Nenner und im Zähler mit $ k^4$ ergibt:

$\displaystyle \lim_{k\rightarrow \infty} \frac{3k^4+2k^2+1}{-7k^4+2k^3+2k} = \l... ...rac{3+2k^{-2}+k^{-4}}{-7+2k^{-1}+2k^{-3}} = \frac{3+0+0}{-7+0+0} = -\frac{3}{7}$

b)
Wegen $ \frac{1}{4k^2-1} = \frac{1}{2}(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1})$ folgt für $ n \in \mathbb{N}$ und anschließend $ n \rightarrow \infty$:

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{12k^2-3} = \frac{1}{6}\sum_{k=1}^{n}(\frac... ...arrow \frac{1}{6}\Rightarrow \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{12k^2-3} = \frac{1}{6}$

c)
Die gegebene Reihe ist eine geometrische Reihe mit $ q = \frac{1}{3}$. Es gilt also:

$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{3^k} = \frac{1}{3}\sum_{k=1}^{\infty}... ..._{k=0}^{\infty}\frac{1}{3^k} = \frac{1}{3}\frac{1}{1-\frac{1}{3}} = \frac{1}{2}$

d)
Das Verwenden der Taylorentwicklung von $ \sin{x}$ ergibt für $ x = 2$:

$\displaystyle \sin{(2)} = \sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^k2^{2k+1}}{2k+1}$

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  automatisch erstellt am 14.7.2008