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Mathematik-Online-Kurs: Prüfungsvorbereitung HM 1/2 SS08 - Lösungen zur Probeklausur 3

Aufgabe 6

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Gegeben ist die Funktion

$\displaystyle g: \left(0,\dfrac{\pi}{2}\right) \rightarrow \mathbb{R}: x \mapsto \sqrt{\cos x} \,. $

a)
Bestimmen Sie den Wertebereich von $ g$ und
b)
die Umkehrfunktion von $ g$ .
c)
Geben Sie die Formel zur Bestimmung der Ableitung von $ f^{-1}$ mit Hilfe der Ableitung von einer Funktion $ f$ und
d)
die Ableitung von $ g^{-1}$ an.

Antwort:

a)

$ (a,b)$, $ [a,b)$, $ (a,b]$, $ [a,b]$,

mit $ a=-\infty$ $ a=$ und $ b=\infty$ $ b=$ .

b)

$ g^{-1}: \ W \rightarrow \left( 0, \dfrac{\pi}{2} \right):\ y \mapsto \arcsin(y^2)$
$ g^{-1}: \ W \rightarrow \left( 0, \dfrac{\pi}{2} \right):\ y \mapsto \arccos(y^2)$
$ g^{-1}: \ W \rightarrow \left( 0, \dfrac{\pi}{2} \right):\ y \mapsto \arcsin(e^y)$
$ g^{-1}: \ W \rightarrow \left( 0, \dfrac{\pi}{2} \right):\ y \mapsto \arccos(e^y)$

c)

$ \left.\frac{d}{dy}f^{-1}(y) \right\vert _{y=f(x_0)}=f'(x_0)=\left.\frac{d}{dx}f(x)\right\vert _{x=x_0}$
$ \left.\frac{d}{dy}f^{-1}(y) \right\vert _{y=f(x_0)}=\dfrac{1}{f'(x_0)}=\left.\dfrac{1}{\frac{d}{dx}f(x)}\right\vert _{x=x_0}$
$ \left.\frac{d}{dy}f^{-1}(y) \right\vert _{y=f(x_0)}=\sqrt{f'(x_0)}=\left.\sqrt{\frac{d}{dx}f(x)}\right\vert _{x=x_0}$
$ \left.\frac{d}{dy}f^{-1}(y) \right\vert _{y=f(x_0)}=\sqrt{\dfrac{1}{f'(x_0)}}=\left.\sqrt{\dfrac{1}{\frac{d}{dx}f(x)}}\right\vert _{x=x_0}$

d)

$ \left.\frac{d}{dy}g^{-1}(y) \right\vert _{y=y_0}=-\dfrac{2y_0}{\sqrt{1-y_0^4}}$
$ \left.\frac{d}{dy}g^{-1}(y) \right\vert _{y=y_0}=\dfrac{2y_0}{\sqrt{1-y_0^4}}$
$ \left.\frac{d}{dy}g^{-1}(y) \right\vert _{y=y_0}=-\dfrac{e^{y_0}}{\sqrt{1-e^{2y_0}}}$
$ \left.\frac{d}{dy}g^{-1}(y) \right\vert _{y=y_0}=\dfrac{e^{y_0}}{\sqrt{1-e^{2y_0}}}$


  

[Andere Variante]

a)
Die Funktion $ \cos{x}$ ist auf dem Intervall $ (0,\frac{\pi}{2})$ streng monoton fallend: Für den Wertebereich W gilt also:

$\displaystyle W=(\sqrt{\cos{(\pi/2)}},\sqrt{\cos{0}})=(0,1) $

b)
Das Auflösen der Gleichung $ y=g(x)$ nach x ergibt:

$\displaystyle y^2 = \cos{x}\Rightarrow x=\arccos{(y^2)}\Rightarrow g^{-1}:(0,1)\rightarrow (0,\frac{\pi}{2}):y\mapsto \arccos{(y^2)} $

c)
Die Formel zur Berechnung der Ableitung von $ f^{-1}$ mit Hilfe der Ableitung von $ f$ lautet:

$\displaystyle (f^{-1}){'}(y) = \frac{1}{f{'}(f^{-1}(y))} $

d)
Die Verwendung der Kettenregel und der Ableitung von $ \arccos{y}$ ergibt:

$\displaystyle (g^{-1}){'}(y) = 2y\frac{-1}{\sqrt{1-(y^2)^2}}=-\frac{2y}{\sqrt{1-y^4}} $

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  automatisch erstellt am 14.7.2008