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Mathematik-Online-Kurs: Prüfungsvorbereitung HM 1/2 SS08 - Lösungen zur Probeklausur 4

Aufgabe 1

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Berechnen Sie folgende Integrale, falls existent.

a) $ \int \limits_{0}^{+ \infty} e^{-x} dx $      b) $ \int x \cos(x) dx $      c) $ \int\limits_{\frac 3 4}^{\frac 4 3} \frac {x}{\sqrt{x^2+1}} dx $      d) $ \int x \sinh{x^2} dx $     

Antwort:

Geben sie Werte gegebenenfalls auf 3 Nachkommastellen gerundet an.
a)
b)
$ \cos(x) +$ $ x\cos(x) +$ $ \sin(x) +$ $ x\sin(x)$
c)
d)
$ \sinh(x^2) +$ $ \cosh(x^2)$


  

[Andere Variante]
a)

$\displaystyle \int\limits_0^\infty e^{-x} ~\mathrm dx = \lim\limits_{a\rightar... ...ft(-e^0\right) \\ = \lim\limits_{a\rightarrow\infty}-\frac{1}{e^a} + 1 = 0+1=1$

b)
Mittels der Produktintegration lösbar:

$\displaystyle \int u(x)v'(x) ~\mathrm dx = u(x)v(x) - \int u'(x)v(x) ~\mathrm dx$

mit u$ (x) = x$ und v' $ (x) = \cos(x)$ erhält man somit:

$\displaystyle \int x\cos(x) ~\mathrm dx = x\sin(x) - \int \sin(x) ~\mathrm dx = x\sin(x) - (-\cos(x)) \\ = x\sin(x) + \cos(x)$

c)
Mittels Substitution:

$\displaystyle u = x^2+1 \Rightarrow \frac{du}{dx} = 2x\ \Rightarrow \mathrm dx=\frac{du}{2x}$

Damit ergibt sich folgendes:

$\displaystyle \int\limits_{3/4}^{4/3} \frac{x}{\sqrt{x^2 +1}}~\mathrm dx = \int... ...t{\frac{25}{9}}-\sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{5}{3} - \frac{5}{4} = \frac{5}{12}$

d)
Substituiere $ u=x^2$

$\displaystyle \frac{\mathrm du}{\mathrm dx} = 2x \rightarrow \mathrm dx = \frac{\mathrm du}{2x}$

Eingesetzt ergibt dies folgendes:

$\displaystyle \int x\sinh(x^2)~\mathrm dx = \int x\sinh(u)\frac{\mathrm du}{2x} = \frac{1}{2} \int \sinh(u) \mathrm du = \frac{1}{2} \cosh(u)$

Nach der Resubstitution erhält man schließlich:

$\displaystyle \frac{1}{2}\cosh(x^2)$

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  automatisch erstellt am 14.7.2008