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Mathematik-Online-Kurs: Mathematische Grundlagen - Komplexe Zahlen

Multiplikation komplexer Zahlen

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Das Produkt $ z_1z_2$ zweier komplexer Zahlen

$\displaystyle z_k = x_k + \mathrm{i} y_k = r_k \exp(\mathrm{i}\varphi_k) $

ist

$\displaystyle (x_1x_2-y_1y_2) + (x_1y_2+x_2y_1)\mathrm{i} = r_1r_2 \exp(\mathrm{i}(\varphi_1+\varphi_2))\, . $

\includegraphics[width=.5\linewidth]{a_multiplikation_bild}

Geometrisch entspricht die Multiplikation mit einer komplexen Zahl $ z=r e^{\mathrm{i}\varphi}$ einer Streckung um den Faktor $ r$ und einer Drehung um den Winkel $ \varphi$.

Das Produkt von $ 1+\mathrm{i}= \sqrt{2}\exp(\mathrm{i}\pi/4)$ und $ \sqrt{3}+3\mathrm{i}=2\sqrt{3}\exp(\mathrm{i}\pi/3)$ erhält man durch Ausmultiplizieren der Standardform als

$\displaystyle (1+\mathrm{i})(\sqrt{3}+3\mathrm{i}) = \sqrt{3}-3 + \left(\sqrt{3}+3\right)\mathrm{i} $

und in der Polarform als

$\displaystyle \sqrt{2}\exp(\mathrm{i}\pi/4)\cdot 2\sqrt{3}\exp(\mathrm{i}\pi/3) = 2\sqrt{6} \exp(7\mathrm{i}\pi/12)\, . $

Für

$\displaystyle z = 3+\sqrt{3}\mathrm{i}= 2\sqrt{3}\exp(\mathrm{i}\pi/6) $

ist

$\displaystyle z^2 = 6 + 6\sqrt{3}\mathrm{i} = 12 \exp(\mathrm{i}\pi/3)\, . $

Wie die Beispiele zeigen, ist die Multiplikation in Polarform im allgemeinen einfacher. Dies trifft insbesondere für die Bildung von Potenzen zu.

(Autoren: Höllig/Kopf)
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  automatisch erstellt am 5.5.2011